4.3.2 空间两点间的距离公式第一课时教学设计

空间中两点间的距离公式

三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 推进新课

新知探究

提出问题

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 应用示例

例1

已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A、B都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误. 解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得

[来源:Z#xx#k.Com]x=31513303=2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为(2,,3). 2222229,所以AB的长度为29. 根据两点间距离公式,得

222d(A,B)=(13)(03)(51)(2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等, 222所以有下面等式：(x3)(y3)(z1)(x1)2(y0)2(z5)2. 化简得4x+6y-8z+7=0, 因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 补充内容：

①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例. 1

②到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面. 变式训练

在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等. 解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|, (01)2(00)2(z2)2(01)2(03)2(03)2(z1)2, 整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3). 例2

证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC是一等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定. 证明：由两点间距离公式得：

222|AB|=(74)(13)(21)27,

222|BC|=(57)(21)(32)6, 6. 222|CA|=(45)(32)(13)由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC是一等腰三角形. 点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长. 变式训练

三角形△ABC的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC是一直角三角形.

解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以

222|AB|=(11)(21)(31)=3, 222|BC|=(01)(01)(51)32, 222|CA|=(10)(20)(35)=3. 又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形. 例3

已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为(

) A.0

B.5835

C.

D.

777活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.

[来源学科网]222解析:|AB|=(x1)(32x)(3x3)

=14x32x19=14(x)补充内容：

当x=2872535. 77835时,|AB|的最小值为. 772 故正确选项为B.

答案：B 课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.

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