探究与发现 为什么二次函数v=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线教学实录及点评

课题：为什么二次函数yax2bxc(a0)的图象是抛物线？

成都八中数学组

贺久林

教学目标：1.了解函数图象的平移与对应解析式的变化的关系；

2.理解二次函数的图象是抛物线

3.能求二次函数图象——抛物线的焦点坐标和准线方程。

教学重点：理解二次函数的图象是抛物线

教学难点：求二次函数图象的焦点坐标、准线方程

教学方法：以问题串的形式展开，指导学生完成对二次函数图象的研究

教学过程：

一、新课引入

问题1 根据你所学知识，画二次函数y解说）

师：众所周知，二次函数的图象是一条抛物线，所以在画二次函数的图象时一般找到几个关键点（顶点、与x轴的交点，对称轴两侧的对称点）。现在我们已经学完了抛物线，知道抛物线上的点都应该满足到焦点的距离等于其到准线的距离。那为什么说二次函数的图像是一条抛物线呢？如果二次函数的图像是一条抛物线，它的焦点坐标、准线方程又是什么呢？这便是我们这节课要研究的主要问题。

二、新课讲解

问题2 根据yf(x)的图象如何得yf(xh)k的图象呢？

生：将yf(x)的图像沿着向量m(h,k)平移可得yf(xh)k的图象

问题3

已知二次函数yf(x)12xx2，F(2,2)。

412xx2的图象。（学生作图并展示4（1）P(2,5)为二次函数图象上的点，点P到F的距离与点P到x轴的距离相等吗？

（2）若点P(x0,y0)为二次函数图象上任意一点，点P到F的距离与点P到x轴的距离相等吗？请说明理由。

生：解（1）PF(22)2(52)25

∴点P到F的距离与点P到x轴的距离相等

1（2）PF(x02)2(y02)2(x02)2(x02x0)2

4

=1413x0x02x024x04

162111413又|y0||x02x02|(x02x02)2x0x02x024x04

44162∴点P到F的距离与点P到x轴的距离相等

1师：从问题3我们可以看出二次函数yx2x2的图象上的点满足抛物线的4定义，其中焦点是F(2,2)，准线是x轴（即y0），同学们你们知道这条抛物线的焦点坐标和准线方程是怎么找出来的吗？其实我们可以从函数图像的平移

来寻找答案。

问题4

抛物线y121x的焦点坐标和准线方程是什么？（指导学生把yx2化44成抛物线的标准方程x24y）

生：焦点坐标（0,1）准线方程

y1

121x的图象经过怎样的平移可变成yx2x2的图像呢？

44111生：yx2x2(x2)21，故只需把yx2的图象沿着向量n(2,1)4441平移可得yx2x2的图象。

411问题6 平移的时候yx2的焦点和准线也会随之平移，变成yx2x2的441焦点和准线。yx2x2的焦点坐标和准线方程分别是什么呢？

4问题5 y生：焦点坐标是F(2,2)，准线方程是y0

（接下来用几何画板给大家做一个直观演示）

练习：yx24x7的图象的焦点坐标是__________,准线方程为__________ 答案：（2，4543），y

44问题6 对于一般的二次函数yax2bxc(a0)的图象，我们也可以用类似的方法说明其图象是抛物线。其焦点坐标和准线方程是什么？

（学生合作交流完成，展示成果）

b24acb2解：yaxbxca(x+)

2a4a2

b4acb2)故yaxbxc(a0)的图象可以由yax的图象按向量m(,2a4a22平移得到。

111x2y的焦点坐标是F1(0,)，准线方程是y

a4a4ab4acb21)，

yaxbxc(a0)的焦点坐标是F(,2a4a24acb21准线方程是y

4a师：同学们可以用刚刚得到的结论去检验一下刚才的练习题中的答案。

问题7 除了上述证明二次函数图象是抛物线外，还有没有其他的方法可以说明二次函数的图象是抛物线的？

生：可以用抛物线的定义来证明，即证明二次函数图象上任一点到F的距离等于其到准线的距离……

师：课后请同学们去查阅资料，搜集更多与二次函数图象是抛物线的相关内容，并在下节课前做交流。

三、课堂小结

师：通过本节课的学习，同学们都有哪些收获？

生：1、会找二次函数图象上的焦点、准线

2、体会从特殊到一般的研究问题的思路。

……