习题3.2名师教学视频（文字实录）

高中数学选修2-1习题3.2（求二面角的平面角）教学设计

教学目的

1、掌握二面角的定义法；

2、掌握求二面角的坐标法。

教学重点：

灵活应用定义法和坐标法求二面角的平面角。

教学难点：

如何回答二面角的平面角的余弦值。

教学过程

（一）复习二面角的定义

1、二面角的定义

2、二面角的表示方法

3、二面角的平面角的定义

4、二面角的平面角的求法：（1）定义法，（2）坐标法。

（二）典例学习

例1：如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．求二面角BAPC的大小。

解：

ACBC，APBP，△APC≌△BPC．

又PCAC，PCBC．

P 又ACB90，即ACBC，且ACPCC，

A C P B BC平面PAC．

取AP中点E．连结BE，CE．ABBP，BEAP．

EC是BE在平面PAC内的射影，

E CEAP．

BEC是二面角BAPC的平面角．

A B C 在△BCE中，BCE90，BC2，BEBC6．

BE33AB6，

2sinBEC例2：如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，

且BAPCDP90．

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PAPDABDC，APD90

，求二面角APBC的余弦值．

【解析】（1）由已知BAPCDP90，得AB⊥AP，CD⊥PD．

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．

又AB

平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．

（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，由（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD．以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz．

由（1）及已知可得A(2222,1,0)．

)，B(,1,0)，C(,0,0)，P(0,0,2222所以PC(2222,1,)，CB(2,0,0)，PA(,0,)，AB(0,1,0)．

2222z设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，

nPC0则，取n(0,1,2)．

nCB0PDFAxBCy设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，

mPA0则，取n(1,0,1)．

mAB0则cosnm33，所以二面角APBC的余弦值为．

3|n||m|3（三）习题讲解

习题3.2 A组

第6题：已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，

且ABBCBD，CBADBC120，求：

（3）二面角ABDC的余弦值. 解：过点A做AO⊥BC于点O，

由ABC和DBC所在的平面互相垂直

所以AO⊥平面DBC 连接DO，由于ABODBO

所以DO⊥BC 建立如图所示空间直角坐标系O-xyz 设AB=1，所以, O(0,0,0)，A(0,0,3)，

2D(133,0,0)，B(0,,0)，D(0,0,)

222平面DBC的法向量为m(0,0,1)

1331由AB(0,,)，BD(,,0)

2222设平面DAB的法向量为n(x,y,z)

13nAByz022由，取n(1,3,1)

31nBDxy022cosm,nmn|m||n|5

5由图知二面角ABDC的平面角为钝角，

所以二面角ABDC的余弦值为5

5（四）课堂小结

（1）定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法需要同学们多留意题目中的垂直关系，特别是等腰三角形底边与底边上的中线。

（2）对于全国高考卷求二面角最常用的办法是坐标法：即通过建立空间直角坐标系分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个半平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角（此.法最大的好处就是省去了推理论证，但运算量相对较大）

（五）布置作业

习题3.2

B组

第3题。