3.2.2 直线的两点式方程教案和学案内容

第三章

3.2

3.2.2

基础巩固

一、选择题

xy1．直线－＝1在x轴、y轴上的截距分别为(

) 25A．2,5

C．－2，－5

[答案]

B xyxyxy[解析]

将－＝1化成直线截距式的标准形式为＋＝1，故直线－＝1在x轴、252－525y轴上的截距分别为2，－5. xy2．如右图所示，直线l的截距式方程是＋＝1，则有(

) abB．2，－5 D．－2,5

A．a>0，b>0 C．a<0，b>0 [答案]

B [解析]

很明显M(a,0)，N(0，b)，由图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，则a>0，b<0. 3．在y轴上的截距是－3，且经过A(2，－1)，B(6,1)中点的直线方程为(

) xyA．＋＝1

43xyC．＋＝1

34[答案]

B [解析]

A(2，－1)，B(6,1)的中点坐标为(4,0)，即直线在x轴上的截距为4，则直线的xy截距式方程为－＝1. 434．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是(

) y－y1x－x1A．＝

y2－y1x2－x1y－y1x－x2B．＝

y2－y1x1－x2xyB．－＝1 43xyD．－＝1 36B．a>0，b<0 D．a<0，b<0

C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0 D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0 [答案]

C 5．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(

) A．2x＋y－8＝0

C．2x＋y－12＝0

[答案]

A y－2x－3[解析]

点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得＝，即2x4－22－3＋y－8＝0. 6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为(

) 3A．－

22C．

5[答案]

A y－9x－3[解析]

直线方程为＝，

1－9－1－3xy3化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－. 332－2二、填空题

7．已知点P(－1,2m－1)在经过M(2，－1)，N(－3,4)两点的直线上，则m＝_________. 3[答案]

2y＋1x－2[解析]

方法1：MN的直线方程为：＝，即x＋y－1＝0，

4＋1－3－23代入P(－1,2m－1)得m＝. 2方法2：M、N、P三点共线，

∴4－2m－14－－13＝，解得m＝. 2－3＋1－3－22B．－

3D．2 B．2x－y＋8＝0 D．2x－y－12＝0 8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是_________. [答案]

3x＋2y－6＝0 b＝3，xy[解析]

设直线方程为＋＝1，则

aba＋b＝5，

xy解得a＝2，b＝3，则直线方程为＋＝1，

23即3x＋2y－6＝0. 三、解答题

xy9．已知点A(－1,2)，B(3,4)，线段AB的中点为M，求过点M且平行于直线－＝1的42直线l的方程．

xy11[解析]

由题意得M(1,3)，直线－＝1的方程化为斜截式为y＝x－2，其斜率为，

42221所以直线l的斜率为. 21所以直线l的方程是y－3＝(x－1)，即x－2y＋5＝0. 210．求分别满足下列条件的直线l的方程：

3(1)斜率是，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；

4(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；

(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．

[分析]

欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．

3[解析](1)设直线l的方程为y＝x＋b. 44令y＝0，得x＝－b，

314∴|b·(－b)|＝6，b＝±3. 234∴直线l的方程为y＝x±3. 3(2)当m≠1时，直线l的方程是

y－0x－11＝，即y＝(x－1) 1－0m－1m－1当m＝1时，直线l的方程是x＝1. (3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b. xy当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；

ab43∵直线过P(4，－3)，∴－＝1. ab又∵|a|＝|b|，

43a＝1，a＝7，a－b＝1，∴解得或

b＝1b＝－7.a＝±b.

当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，

3∴l的方程为y＝－x. 4xy3综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x. 7－74[点评]

明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．

能力提升

一、选择题

1．如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 008，b)在直线l上，那么b的值为(

) A．2 014

C．2 016

[答案]

D 5－－1b－5[解析]

根据三点共线，得＝，得b＝2 017. 2－－11 008－2xyxy2．两直线－＝1与－＝1的图像可能是图中的哪一个(

) mnnmB．2 015 D．2 017

[答案]

B 3．已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是(

) A．2x－3y＝4

C．3x－2y＝4

[答案]

A [解析]

∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上．同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上．由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4. [点评]

利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零．

4．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有(

) A．1条

C．3条

[答案]

B [解析]

解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．

B．2条

D．4条

B．2x－3y＝0 D．3x－2y＝0

3＋4k令y＝0得x＝，令x＝0得y＝－4k－3. k3＋4k3由题意，＝－4k－3，解得k＝－或k＝－1. k4因而所求直线有两条，∴应选B．

解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为xy(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为＋＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1. aa∴所求直线有两条，∴应选B．

二、填空题

5．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为_________. [答案]

2x－y＋4＝0

[解析]

设A(x,0)，B(0，y)．

由P(－1,2)为AB的中点，

0＝－1，x＋2∴0＋y2＝2，

x＝－2，

∴

y＝4

由截距式得l的方程为

xy＋＝1，即2x－y＋4＝0. －2416．若直线l的方程为2x－y＝－1，则它的截距式方程为_________，斜截式方程为3_________，直线l与x轴交于点_________，与y轴交于点_________. [答案]

y1＋＝1

y＝6x＋3

(－，0)

(0,3) 132－2x三、解答题

7．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．

xy[解析]

设直线方程的截距式为＋＝1. a＋1a则－26＋＝1，解得a＝2或a＝1，

a＋1a

xyxy则直线方程是＋＝1或＋＝1，

2＋121＋11即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0. 8．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；

(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；

(4)求AC边上的高所在直线的方程；

(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．

xy[解析]

(1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为＋＝1，即x－2y＋8＝－840. y－4x－0由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为＝，即x＋y－4＝0. 6－4－2－0(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两y－6x＋2点式方程为＝，即2x－y＋10＝0. 2－6－4＋24－01(3)由直线AC的斜率为kAC＝＝，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点0＋82D(－4,2)，

所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，

即2x＋y＋6＝0. (4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0. (5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，

y－2x－－4∴直线DM方程为＝，

5－2－1－－4即x－y＋6＝0.