习题2.3板书设计及设计说明

《平面与平面垂直的判定》教学设计

勃利县高级中学

高一数学组

霍莹

【学习目标】

1.掌握二面角和两个平面垂直的定义

2.理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系

3.会用所学知识求两平面所成的二面角. 【重点难点】

重点：平面与平面垂直的判定定理. 难点：判定定理的应用及二面角的求法. 【学法指导】

1.二面角是由两个半平面所成的角，刻画二面角的大小是要看它的平面角的大小，求二面角首先要找到它的平面角，然后解平面角。

2.证明两平面垂直，可以根据定义两平面所成的二面角是直二面角。也可根据判定定理一平面经过另一平面的垂线。很多情况下要做辅助线，在一平面内做一条直线并证明它能垂直于另一平面即可。

【知识链接】

1.平面与平面的位置关系：平行、相交. 2.直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 3.直线与平面所成的角是怎么定义的？直线与平面所成的角的范围是？

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角。

规定：(1)直线与平面垂直时，所成的角为直角；

(2)直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角，由此得直线和平面所成角的取值范围为0,2。

【问题探究】

探究一、二面角及其平面角

引导:修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造卫星时也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。这里所涉及到的就是我们所要研究的两个平面所成的角。

新知：从一条直线出发的 所组成的图形叫二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作 . 简记： P—AB—Q；—l—；P—l—Q

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我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小呢？

二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作 ，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.

AOB的大小与点O在l上的位置有关系吗？为什么？

直二面角： . 二面角的平面角的作用：衡量二面角的大小；

它的范围： .

探究二、平面与平面垂直的判定

引导:教室里的墙面所在的平面与地面所在的平面相交，他们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上。那么怎样才叫两平面垂直呢？

新知：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直. 记作. 除了定义，我们能不能找到更简洁的判定两平面垂直的方法？

平面与平面垂直的判定定理： . （线面垂直面面垂直）

符号语言： . 【典例分析】

例1. 如图，AB是⊙0的直径，PA垂直于⊙0所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. 引导：根据平面与平面垂直的判定定理我们只需要能在平面PBC内找到一条直线垂直于平面PAC即可。根据条件可以分析出BC就是我们要找的直线。

证明:

反思：线线垂直线面垂直面面垂直

例2. 如图所示，已知三棱锥DABC中，满足ABACDBABCDC3,B2C,，求二面角DA2D的大小？

引导:求二面角关键是要找到二面角的平面角，设E为BC的中点，连AE，DE则根据条件易证DEA即为二面角ABCD的平面角。

解：

2

反思:求解二面角的平面角，要根据二面角的定义按照“作”（作图作出二面角的平面角）-“证”（证明作出的角就是二面交的平面角）-“指”（指出二面角的平面角）-“解”（求解出二面角的平面角）。

【目标检测】

一、选择题: 1．对于直线m、n和平面、，的一个条件是（ ）. A．mn，m//，n// B. mn,Im,n

C．m//n,n,m// D. m//n，m，n

2. 经过平面外一点与平面垂直的平面有（ ）

A．0个 B. 1个 C．2个 D. 无数个

3. 自二面角内任一点分别向两个平面引垂线，则两垂线所成的角月二面角的平面角的关系是 （ ）

A 相等 B 互补 C 互余 D无法确定

4如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面.图中互相垂直的平面有（ ）

A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

二、填空题: 5．正四面体相邻两个面所成的二面角的余弦值为 6．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 7．如图，二面角l的大小是60°，线段AB.Bl，

AB与l所成的角为30°.则AB与平面所成的角的正弦值是 . 三、解答题：

8. 如图, 在空间四边形ABCD中，ABBC,CDDA,

E,F,G分别是CD,DA,AC的中点，求证：平面BEF平面BGD.

引导:只需证明EF平面BGD即可。易知EF平行于AC，而易证AC垂直于平面BGD。

证明：

BBAAFGDEC9*.已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小. 引导:关键找到二面角的平面角，按照“作”，“证”，“指”，“解”四步求解

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总结提升】: 1、

二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角. 2、

求解二面角的平面角，要根据二面角的定义按照“作”（作图作出二面角的平面角）-“证”（证明作出的角就是二面交的平面角）-“指”（指出二面角的平面角）-“解”（求解出二面角的平面角）。

3、平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）

【总结反思】

知识 重点 . 能力与思想方法 ※自我评价（

）

A、课前自主学习认真，学案完成很好；你真棒，继续坚持。

B、课前自主学习一般，学案完成良好；下次争取做的更好。

C、课前自主学习较差，学案空白较多；注意学习方法，提高学习效率。

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