2.2.4 平面与平面平行的性质教学设计方案

2.2.4

平面与平面平行的性质

学习目标

1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题. 2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．

3、通过探究活动培训学生合作协调能力。

知识点

平面与平面平行的性质

观察长方体ABCD—A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.

思考1

平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？

答案

是的．

思考2

若m⊂平面ABCD，n⊂平面A1B1C1D1，则m∥n吗？

答案

不一定，也可能异面．

思考3

过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？

答案

平行．

梳理

两平面平行的性质定理

文字语言

符号语言

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

图形语言

1．若平面α∥平面β，l⊂平面β，m⊂平面α，则l∥m.(×) 2．夹在两平行平面的平行线段相等．(√)

活动探究

类型一

面面平行的性质定理的应用

命题角度1

由面面平行的性质定理求线段长

例1

如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．

考点

平面与平面平行的性质

题点

与面面平行性质有关的计算

证明

设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，

所以AC∥BD，

SCSA所以△SAC∽△SBD，所以＝，

SC＋CDSB即SC3＝，所以SC＝17. SC＋349反思与感悟

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

跟踪训练1

将例1改为：如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．

考点

平面与平面平行的性质

题点

与面面平行性质有关的计算

解

如图所示．

连接AF，交β于点G，

则点A，B，C，G共面．

∵β∥α，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，

∴BG∥CF，

∴△ABG

∽△ACF，

∴ABAG＝，

BCGFAGDE同理，有AD∥GE，＝，

GFEF∴又ABDE＝. BCEFAB1＝，

BC3115345∴AB＝AC＝

cm，BC＝AC＝

cm. 4444∴EF＝3DE＝3×5＝15 cm. 命题角度2

利用面面平行证明线线平行

例2

如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质证明平行问题

证明

∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，

∴A′D′∥B′C′. ∵A′D′⊄平面BB′C′C，B′C′⊂平面BB′C′C，

∴A′D′∥平面BB′C′C. 同理AA′∥平面BB′C′C. ∵A′D′⊂平面AA′D′D，AA′⊂平面AA′D′D，

且A′D′∩AA′＝A′，

∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. 又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，

平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，

∴AD∥BC. 同理可证AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形．

反思与感悟

(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．

(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化．

跟踪训练2

如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质证明平行问题

证明

因为D，E分别是PA，PB的中点，

所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以DE∥平面ABC，

同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，

所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF，

平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM. 类型二

平行关系的综合应用

例3

如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB1D1D. 考点

平行的综合应用

题点

线线、线面、面面平行的相互转化

(1)证明

如图，连接AC，CD1.因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，

所以PQ∥CD1. 又PQ⊄平面DCC1D1，

CD1⊂平面DCC1D1，

所以PQ∥平面DCC1D1. 12(2)解

由(1)易知PQ＝D1C＝a. 22(3)证明

方法一

取B1D1的中点O1，

连接FO1，BO1，

1则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1. 21又BE∥B1C1且BE＝B1C1，

2所以BE∥FO1，BE＝FO1. 所以四边形BEFO1为平行四边形，

所以EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

所以EF∥平面BB1D1D. 方法二

取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，

且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF⊂平面EE1F，

所以EF∥平面BB1D1D. 反思与感悟

线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：

跟踪训练3

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．

考点

平行的综合应用

题点

平行中的探索性问题

解

能．分别取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1. ∵平面A1B1C1D1∥平面ABCD，平面A1MCN∩平面A1B1C1D1＝A1N，平面ABCD∩平面A1MCN＝MC，

∴A1N∥MC. 同理A1M∥NC. ∴四边形A1MCN是平行四边形．

11∵C1N＝C1D1＝A1B1＝A1P，C1N∥A1P，

22∴四边形A1PC1N是平行四边形，

∴A1N∥PC1.同理A1M∥BP. 又∵A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，A1N，A1M⊂平面A1MCN，C1P，PB⊂平面PBC1，

∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故过点A1与截面PBC1平行的截面是平面A1MCN.

连接MN，作A1H⊥MN于点H.由题意，

易得A1M＝A1N＝5，MN＝22. ∴四边形A1MCN是菱形，MH＝NH＝2，

∴A1H＝3. 1故S菱形AMCN＝2S△A1MN＝2××22×3＝26. 21课后作业

1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是(

) A．平行

C．异面

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质判定位置关系

答案

A 2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中(

) A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．有且只有一条与a平行的直线

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质判定位置关系

答案

D 解析

由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与α平行，故D项正确．

3．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是(

) B．相交

D．不确定

A．相似但不全等的三角形

B．全等三角形

C．面积相等的不全等三角形

D．以上结论都不对

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质判定位置关系

答案

B 解析

由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，

则四边形ACC′A′为平行四边形，

∴AC＝A′C′. 同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，

∴△ABC≌△A′B′C′. 4．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．

考点

平面与平面平行的性质

题点

利用性质判定位置关系

答案

平行四边形

解析

由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．