3.1.3 空间向量的数量积运算教学设计

课

题

2.5.1 从力做的功到向量的数量积

1．知识和技能

了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的定义及其意义；

2．过程和方法

体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的

性质和运算律，并能运

教学目标

用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3．情感、态度和价值观

体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理

论证的能力。

教学重点

1．平面向量数量积的定义与意义，

2．平面向量数量积性质与运算律及其应用。

教学难点

平面向量数量积的概念

教学方法

探究式教学

教学用具

多媒体

教

学

过

程

(一)复习巩固

问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？

这些运算的结果是数还是向量？

生答：向量的加法、减法及数乘向量。结果都是向量。 问题2：请同学们回忆下，我们是怎么引入向量的加法运算和数乘

向量的？

生答：向量的加法运算是在位移和求合力的

基础上引入的。

数乘向量是在速度的倍数基础上引入的。

（二）新课引入

问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

力F所做的W是多少？

生答：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

总结：力对物体所做的功，可以看做力和位移这两个向量的某种运算

本节课我们从力做功来看另外一种运算。

课型

新授课

备注

F 

2.5.1平面向量的数量积

（三）新课讲授

探究一：两向量的夹角

问题1：两个非零向量夹角的定义是什么？

生答：已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则

 ∠ＡＯＢ＝θ

（０≤θ≤π）叫a与b的夹角。

师生总结：（1）当θ＝０时，a与b同向；

 （2）当θ＝π时，a与b反向；

 （3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；

2 （4）两向量必须是同起点，其夹角的范围是0≤≤180

探究二：两向量的数量积的定义

问题1：两个向量的数量积的定义是什么？

 生答：已知两个向量a与b，它们的夹角为，就把



│a││b│cosθ叫作 a与b的数量积（或内积）。



记作ab，即ab=│a││b│cosθ

注：“ab”中间的“·

”不可以省略为ab，也不可以用

“

” 代替.

练习：①0·a

＝ ，0·

a＝

0

＝

。 ②

已知

ABC是边长为2的等边三角形，

求ABAC

,ABBC. 问题2：数量积的结果是数还是向量？

生答：数量积的结果是数。

问题3：数量积的结果是个什么数？它的正负与什么有关？

的范围

ab的正负

0°≤<90°

=90°

90°<≤180°

+ 0 - 生 答：数量积的结果是任意实数，它的正负与两向量的夹角有关。

师生总结：

探究三：两向量的数量积的意义

1.射影的概念：

如图，我们把│b│cos叫做b在a方向上的射影，记作：OB=│b│cos

1

问题1：射影的正负由谁来决定的？

生答:射影的正负由决定的。

问题2：向量的数量积的几何意义是什么？

生答:a与b的数量积等于a的长度│a│与b在a方向上的

 射影│b│cos的乘积。

问题3：力在位移方向上做的功的数学实质是什么？

生答：功是力与位移的数量积，这就是数量积的物理意义。

探究四：数量积的运算性质

练习：设a、b为两个非零向量，

（1）若e是单位向量，则e·a

=

，a·e=

。

（2）若a⊥b=0，则ab=

，若ab=0，则a

b。

（3）若│a│=2，则aa=

。

师生总结：数量积的运算性质

设a、b为两个非零向量，

（1）e·a

= a·e

=|a|cos

（2）ab



a·b

= 0 22（3）a = |a|或|a|aa

ab（4）cos =

（5）|a·b| ≤

|a||b|

|a||b|（四）

讲解范例

例1.判断正误，并说明理由。

①

a

·b

= b·

a

②

｜a·b｜＝｜a｜｜b｜

③

a·b＝０，则a与b中至少有一个为0

④

对任意向量a，b，c都有（a·b）c＝a（b·c）

⑤

(a

+ b)c

= ac

+ bc

生答:略. 师生总结：平面向量数量积的运算律

1．交换律：ab2．数乘结合律：3．分配律：aba

ababab

注：（a·b）c＝a（b·c）不一定成立。

例2 已知︱a︱=2，︱b︱=1, a与b的夹角为60°，

 （1）求（a+2b

）·（a-b）的值

 （2）求证：（a-b）⊥b

bcabac



（3）求︱a+2b

︱. (五)练习巩固

练习:已知︱a︱=1，︱b︱=2 （1）若

a∥b,求a·b



(2) 若a与b的夹角为60°,求︱a+b

︱

 (3) 若a-b与a垂直,求a与b的夹角.

(六)反思总结

通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、

重要性质、

运算律，并能运用它们解决相关的问题. (七)课后作业：P95习题2-5第2题

(八)板书设计

(九)预习提纲