1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计及教案分析

命题及其关系、充分条件与必要条件（A）

一、要点梳理：

1．命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及相互关系

3．四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

4．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

5.

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

二、基础训练：

1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是

(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

π2．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是

(

) 4ππA．若α≠，则tan α≠1

B．若α＝，则tan α≠1 44ππC．若tan α≠1，则α≠

D．若tan α≠1，则α＝

443．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(

) (

) 4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的

命题及其关系

1

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5.已知集合M＝{x|0

(

) A．充分而不必要条件

C．充要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

6.与命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”等价的命题是

(

) A．若a，b，c成等比数列，则b2≠ac

B．若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac

C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列

D．若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列

7.“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．

8.“x＝2”是“向量a＝(x＋2,1)与向量b＝(2,2－x)共线”的________条件．

三、典例讲解：

题型一

四种命题及真假判断

例1

(1) 下列四个结论中：

①“a＝0”是“ab＝0”的充分不必要条件；

②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；

④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．

正确的是________．

命题及其关系

2

(2)已知命题“若函数f(x)＝x2－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤0”，则下列结论正确的是

(

) A．否命题“若函数f(x)＝x2－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>0”是真命题

B．逆命题“若m≤0，则函数f(x)＝x2－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>0，则函数f(x)＝x2－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>0，则函数f(x)＝x2－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

题型二

充要条件的判定

例2

已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是

(

) A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

f－xB．p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数

fxC．p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β

D．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA

命题及其关系

3

题型三

充分条件与必要条件的应用

log2x，x>0，例3

(1)函数f(x)＝有且只有一个零点的充分不必要条件是

x－2＋a，x≤01A．a<0

B．0

21C.

D．a≤0或a>1 2

(

) (2)设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是

10，

A.

21C．(－∞，0]∪2，＋∞

33能力提升：已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，24并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

命题及其关系

4

(

) 10，

B.21D．(－∞，0)∪2，＋∞