3.1直线的倾斜角与斜率（通用）名师教学视频（文字实录）

教学设计题目：直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率

一、

教材分析

解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学中数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休”．数学中,数和形是两个最主要的研究对象,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,数和形之间可以相互转化,相互渗透．平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法研究几何问题。

本章主要介绍解析几何中最基本的知识，从研究最简单的曲线---直线开始。这一节学习的是北师大版必修2第二章《解析几何初步》第一节直线与直线的方程第一课时的内容，通过对“直线的倾斜角与斜率”这一概念的学习，体会解析几何的重要方法---坐标法（或解析法）。用这种方法，一方面，几何概念可用代数表示，几何目标可通过代数方法达到；另一方面，又可给代数语言以几何解释，使代数语言更直观、更形象地表达出来。

二、学情分析

根据日常生活的经验，学生对直线已有一定的认识，但仍没有上升到成为具体“定义”的水平，将感性认识理性化，会对他们是一个挑战；在初中阶段已经涉及过一次函数，把代数与几何结合，将

对他们又是一个挑战。

三、教学目标

1.知识技能：

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念；

(2)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。

2.过程与方法：

(1)培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力；

(2)使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：

(1)通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程；

(2)通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维；

(3)激发学生学习数学的热情。

四、

教学重、难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

五、

学法与教法：

(1)、本节课采用的是教师设疑诱思、问题导学；学生动手操作、自主探究的教学方法。

(2)、教学用具：直尺、多媒体。

六、

教学基本流程：

引出课题——自主探究形成概念——师生互动——知识应用—

—强化理解，当堂达标——整理知识，形成结构，小结——布置作业

七、

教学设计过程：

（一）导出课题

一天，笛卡尔做了一个梦，梦见一只苍蝇飞动时，划出一条美妙的曲线，然后一个黑点停留在了窗纸上。他醒后想，这难道不是由静到动，由点到线产生的完美曲线吗？之后他潜心研究，便产生了坐标几何即解析几何。而在曲线中直线是最简单的。引入课题——直线的倾斜角与斜率。

（二）自主探究，形成概念

【思考】：哪些条件可以确定平面直角坐标系内一条直线的位置呢？

[设计意图]：“思维从疑问开始”，创设情境，激发学生的求知欲，使学生处于“愤”“悱”的状态，此时需要教师适当“启”“发”。

[学生活动]：学生思考，分组讨论并派代表回答讨论的结果。

【问题1】：什么是直线的倾斜角？它的范围如何？

[设计意图]：学生通过观察图形与讨论，理解确定直线的条件以及直线倾斜角的定义。

[预设结果]：（1）形成倾斜角的定义：在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线l与x轴相交时，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角，叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。

（2）形成倾斜角的范围：0180。

【问题2】：日常生活中还有表示倾斜程度的量吗？

[设计意图]：采用发现法，引导学生发现斜率的定义及必要性。

[学生活动]：互相讨论日常生活中的爬山坡的坡度大小，得结论。

坡度（比）=升高量/前进量=tan

我们把倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（得出斜率的定义）。即。

【问题3】：与k的具体联系是什么呢？换句话说：当[00,1800)变化时，斜率k如何变化？

[设计意图]：培养学生观察和概括问题的能力，分类讨论思想的应用培养学生思维的严谨性和科学性，体现数形结合的思想。

[学生活动]：通过图像来研究，独立完成，然后找某组的学生来展示。

老师总结：与k的联系：k是的正切函数，也就是说与k的关系实质是函数关系，具体而言倾斜角α是90

o的直线没有斜率；倾斜角α不是90 o的直线都有斜率；倾斜角不同，直线的斜率也不同。斜率大于0的直线的倾斜角为锐角，并且斜率越大倾斜角越大；斜率小于0的直线的倾斜角为钝角，并且斜率越大倾斜角越大。因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。

(三) 师生互动，导出两点的斜率公式

【问题4】：求直线的斜率还有其它方法吗？若已知两点的坐标

如何求斜率？什么方法？ [设计意图]：使学生明确已知直线上两点的坐标，求其斜率的方法；体会构造的过程，渗透化归的数学思想，向学生展现数学的和谐与对称美。

[学生活动]：讨论过两点的直线的斜率公式的推导思想，完成推导过程。

思路分析：根据斜率的定义解决问题，因此首先要构造直角三角形。

斜率的直线k

问：这个公式有什么限制范围吗？公式与两点的顺序有关吗？

答：x1x2，当x1x2时，lx轴，此时900，k不存在。

解决过程：（略）

公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1 x2）y2y1的斜率公式是：

x2x1（四）知识应用

例1、求经过A (3, 2), B (-4, 1) C (0，-1) 各点的直线的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？

变式：经过A(-2,3), B(-5,y)两点的直线的斜率为2，求y的值? [设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。

[学生活动]：学生板演，然后讲解。

例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1, 2及3的直线。

[来源:学科网]

[设计意图]：通过逆向思维，进一步加深对本课时所学的基本知识的理解，渗透坐标法的逆用和数形结合思想。

（五）强化理解，当堂达标

当堂检测：

一、

判断正误：

1.直线的倾斜角为，则直线的斜率为k。

2.因为所有直线都有倾斜角，所以直线都有斜率。

3.因为垂直于x轴的直线的斜率不存在，所以垂直于x轴的直线的倾斜角不存在。

4.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大。

5.直线的斜率相等，它的倾斜角相等。

6.直线的倾斜角相等，它的斜率相等。

二、如图，直线

l1,l2,l3,l4的斜率分别为

k1,k2,k3,k4

试确定k1,k2,k3,k4

的大小关系. y

l3

l2

l1

l4

o x 三、判断A (1, -1) , B (-2, -7) , C (0, -3) 三点是否共线? 变式: 在上题中，若点D（m，5）也在直线上，求m的值。

[学生活动]：学生展示，把有问题的写到导学案上，反馈问题。

（六）形成知识结构，课堂小结

1、倾斜角与斜率的定义、范围及两点的斜率公式；

2、构造直角三角形,将斜化为直，是化归思想的体现。

3、数形结合的思想；

4、

在17世纪，笛卡尔的研究使古希腊的数学领域进入了一个新时期，而在中国，明朝中叶—清朝，大约300多年来，数学可以说是空白，只有“九章算术”这一项可以拿的出手，遭到外国人的嘲笑，说中国人没有数学天赋。笛卡尔曾说，他的梦像一把打开宝库的钥匙，它开启了坐标几何，祝愿大家也能梦想成真！为了民族的强大，为了不被别人嘲笑，昔日，周总理曾“为中华之崛起而读书”，今日，让我们“为中华之腾飞而奋斗”吧! （七）布置作业

经过点P(0，-1)作直线l，若直线

l与连接A(1，-2), B(2，1)的线段总有公共点，求直线

l的倾斜角与斜率k的取值范围。

[来源:Z*xx*k.Com]变式1：若经过的点P(4，2)呢？

变式:2：若经过的点P(-2，3)呢？

八、板书设计

新课引入：

思考问题：

探究问题：

3.两点的斜率公知识应用：

[来源:学科网]随堂检测

小结

布置作业

式：

推导思路

例1 例2

1.直线的倾斜角：定义，范围

2.直线的斜率：

斜率与倾斜角的关系。

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

九、教学反思

本节课是解析几何的第一节课，“坐标法”是本课内容蕴含的核心思想方法，是解析几何研究问题的核心思想方法。通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，能较好地理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。

通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的思考步步深入，最后概念在头脑中呼之欲出，从而让学生感受到得出概念这一过程是自然的，是清楚的，是水到渠成的。之后通过一定的例题沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。