3.1.2 导数的概念获奖说课稿

3.1.2

导数的概念

学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率

2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点) 3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点) 教学过程: 自

主

预

习·探

新

知

1．函数的平均变化率

Δyfx2－fx1(1)定义式：Δx＝. x2－x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，Δyfx2－fx1则平均变化率Δx＝表示割线P1P2的斜率．

x2－x1思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？

[提示]

Δx≠0，Δy∈P. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

fx0＋Δx－fx0Δy(1)定义式：lim

Δx＝lim

. ΔxΔx→0Δx→0(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．

(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．

3．函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记fx0＋Δx－fx0Δy作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx＝lim. ΔxΔx→0Δx→0合

作

探

究·攻

重

难

1、求函数的平均变化率

Δy例1

(1)若函数f(x)＝2x－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δx2＝(

) A．4

B．4x

C．4＋2Δx

D．4＋2(Δx)2

(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图3-1-1，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．

图3-1-1 (3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．

[解]

(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1) ＝2(Δx)2＋4Δx

Δy∴Δx＝2Δx＋4，故选C. (2)由题意知，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC. 根据图象知v1

Δv28∴Δr＝3π.

2、求瞬时速度

229＋3t－3，0≤t<3，例2若一物体的运动方程为s＝2(路程单位：m，时3t＋2，t≥3

间单位：s)．求：

(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；

(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．

Δs[思路探究]

(1)先求Δs，再根据v＝Δt求解．

ΔsΔs(2)先求Δt，再求lim

Δt. Δx→0

[解]

(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物体在t＝3 Δs48s到t＝5 s这段时间内的平均速度为Δt＝2＝24(m/s)．

(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，

2Δs3Δt－12Δt所以Δt＝＝3Δt－12(m/s)，

ΔtΔs则物体在t＝1 s时的瞬时速度为lim

Δt＝lim

(3Δt－12)＝－12(m/s)．

Δx→0Δx→03、求函数在某点处的导数

(1)函数y＝x在x＝1处的导数为__________．

(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，

Δy①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值Δt；

②求t1＝4时的导数．

ΔyΔy[思路探究]

(1)求Δy→求Δx→求lim

Δx

Δx→0Δy(2)①Δy＝f4.01－f4→Δt

ΔyΔy②求Δy→求Δt→求lim

Δt

Δt→0[解析]

(1)Δy＝1＋Δx－1，

1＋Δx－1Δy1＝＝，

ΔxΔx1＋Δx＋1lim

Δx→011＝2，

1＋Δx＋11所以y′|x＝1＝2. 1[答案]

2

2(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t1·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，ΔyΔy＝0.481 201，Δt＝48.120 1.

Δy22②lim

Δt＝lim

[3t1＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t1＝48，

Δx→0Δx→0故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，

即y′|t1＝4＝48. 课堂小结：求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限．

ΔyΔy提醒：当对Δx取极限时，一定要把Δx变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．