1.1.3 四种命题间的相互关系教案3

四种命题及其相互关系

华北石油第一中学 马大瑞

一、四种命题及其关系

（1）四种命题及其形式：

原命题：若p则q； 逆命题：；

否命题：；逆否命题：

【注】命题的否定：若p则q。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅

是否定命题的结论。）

（2）四种命题之间的相互关系：

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

原命题为真，它的逆命题不一定为真

原命题为真，它的否命题不一定为真

原命题为真，它的逆否命题一定为真

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 要点1：四种命题及其形式

例1、分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

(1)实数的平方是非负数；

(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．

【自主解答】

（1）逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．

（2）逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数. 否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数．

1

逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数．

【精彩点拨】

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．

要点2：四种命题之间的相互关系

（1）命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是(

) A．若a2>b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2>b2

B．若a2≤b2，则a≤b

D．若a≤b，则a2≤b2

（2）命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

【自主解答】

（1）根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故p为a2≤b2，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. （2）根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

【精彩点拨】

要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

要点3：等价命题的应用

（1）已知p(x)：x2＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．

（2）判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

【自主解答】

（1）因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得m＜8.故实数m的取值范围是[3,8)．

（2）解

∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．

【精彩点拨】

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

2