第四章 圆与方程（通用）优质课教案推荐

2.3.1 圆的标准方程

课型

新授课

教具

黑板, 彩色粉笔，直尺，圆规

教学方法

启发式教学，讲解法

教学目标

1、知识与技能目标：

1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程；

2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径；由不同的已知条件求得圆的标准方程。

3.掌握点与圆位置关系的判定

2、过程与方法目标

1.进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思

想的理解和加强对待定系数法的运用；

2.利用圆的标准方程解决简单的实际问题，加强学生理论联系实际的能

力

3、情感态度与价值观目标

1.培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

2.在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

重点

圆的标准方程的求法及应用

难点

根据不同的已知条件求圆的标准方程

选择恰当的直角坐标系解决与圆有关的实际问题

教学过程

一．

复习

复习上节课内容，思考以下几个问题

1. 什么是直线方程？确定直线方程的要素有哪些？

2. 直线方程有哪几种表达式，都是什么样的

?

意图：

教师提问，

复习直线的方程形式，帮助同学去联想圆的方程

二．

引入新课

上节课我们已经学过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？这节课让我们一起来学习最常见的曲线----圆的方程的第一节圆的标准方程。

三．讲授新课

1. 新课引入

同学们在初中的时候就已经初步了解了圆的有关知识，那么哪一位同学来回答圆的概念？

是的，平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆。定点是圆心，定长是圆的半径。圆心和半径分别确定了圆的

位置和大小．

现在我们求以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程

首先我们建立一个直角坐标系，设点M（x，y）是圆上任意一点，那点M在圆上的条件是|MC|=r，那么由我

们已经学过的两点间的距离公式，所说条件可以转化为方程表示：

将上式两边平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2．

(1)

显然，圆上任意一点M的坐标（x，y）适合方程（1）；

如果平面上一点M的坐标（x，y）适合方程（1），可得|MC|=r，则点M在圆上。

所以方程(1)是以C(a，b)为圆心、r为半径的圆的方程。

教师在黑板上引导启发同学们一起建立圆的标准方程，加深学生学习印象。

我们把它叫做圆的标准方程. 那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点？思考一下当圆心在原点时，x轴上，y轴上时，圆的方程是什么？

这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1．

点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径．

且当圆心在原点即C(0，0)时，方程为

x2+y2=r2 圆心在x轴上时： 圆心在y轴上时：

圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r三个量确定了且r＞0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．

注意，确定a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．

口头练习

1说出下列圆的圆心和半径：

(1)(x-3)2+(y-2)2=5；

(2)(2x+4)2+(2y－4)2=8；

(3)(x+2)2+ y2=m2 （m≠0）

总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径．

2、(1) 圆心是（3，－3），半径是2的圆是_________________. （2）以（3，4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程为（

）

总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程．

容易看出，如果点M（x。，y。）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，

如果点M（x。，y。）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，

当然我们刚才做的练习题都是比较简单的，那当遇到比较复杂的条件时，我们怎么来确定圆的标准方程呢？我们来做下面的一道题。

例1 根据下列条件，求圆的方程：

（1）

圆心在点C（-2,1），并过点（2，-2）的圆。

（2）

圆心在点C(1,3)，并与直线相切的圆的方程

（3）

过点（0,1）和点（2,1），半径为2的圆

。

分析

:圆心和半径是圆的两要素，只要确定圆心坐标和半径就可以写出圆的方程。

小结：求圆的方程的方法

⑴

定义法：直接求出圆心坐标和半径

⑵

待定系数法：

步骤是

①

设圆的标准方程

②

由条件列方程（组）解之

③

写出圆的标准方程

例2 写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（ 5 ，-1）是否在这个圆上？

例3 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圆的方程. 例4 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在

直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程

本课小结

1．圆的方程的推导步骤。

2．圆的方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径。

3．由不同的已知条件求解圆的标准方程。

4. 求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)定义法。

5. 数型结合的数学思想

同学总

结，巩固加深印象。

作业

板书设计

2.3.1圆的标准方程

复习引入

（擦掉）

一、建立圆的标准方程

1、圆的方程的推导

(x-a)2+(y-b)2=r2

2、圆的标准方程的特点: 圆心（a,b）定位，r定型

3、点与圆的位置关系

二、

圆的标准方程的应用

例1

例2

学生练习