3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教案推荐

3.3.4

两条平行直线间的距离

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内容

课题

教学

两条平行直线间的距离

1.让学生进一步掌握点到直线的距离公式，并会推理两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索修改与创新

目标

问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 教学重、

教学重点:难点

教学

多媒体课件准备

[来源:Zxxk.Com]

两条平行直线间的距离公式的推导和应用.

教学难点:

对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.

复习回顾

点P(-1,2)到直线3x=2的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题. 提出问题

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易教学过程

想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一

个为零，公式是否仍然成立？

③回顾前面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：

①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0时，d=A|ByA|C|2B2；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=|AxA02C|B2；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=02C|B2.

观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0)，d=? 学生应能得到猜想：d=|Ax0ByA20C|2. B启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(C1A,0). |A(C1A2)C|2∴P′N=A|CC1|A2BB2. (*) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入(*)得|P′N|=|CAxA|AxByA220[来源学_科_网Z_X_X_K]

By20|

B即d=00C|2,. B②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=|C1C2|A2. B2证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0ByA20C|2. B又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=|C1C2|A2. B2讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=|Ax0ByA20C|2. B

②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=应用示例

例1

求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=|2(1)210|22|C1C2|A2. B210525. 12(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|23-(-1)|=53. 点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值. 解:|3a462|3242=4|3a-6|=20a=20或a=463. 例2

已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 解:设AB边上的高为h，则S△ABC=12|AB|·h. |AB|=(31)2(13)222，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在的直线方程为y313x131,即x+y-4=0.52[来源学科网]

点C到x+y-4=0的距离为h=|104|1122，

因此，S△ABC=12×2252=5. 点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程. 解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3

求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=|23708|221453145353(7)2. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练

求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离. 答案：2133. 知能训练

课本本节练习. 拓展提升

问题：已知直线l:2x-y+1=0和点O(0，0)、M(0，3)，试在l上找一点P，使得||PO|-|PM||的值最大，并求出这个最大值. 解:点O(0，0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-则直线MO′的方程为y-3=13445,25)，

x. 815,115直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(1855)即为所求，

相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=课堂小结

通过本节学习，要求大家：

. 1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能

力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用. 作业

课本习题3.3

A组9、10；B组2、4. 一、

复习回顾

点到直线的距离公式

板书设二、

公式推导

计

三、

两平行线的距离公式

本节内容比较简单，整个教学过程以问题为教学出发点，以教师为主导，学生为主体，激励学生去推导，直到取得成功，顺应合理的逻辑结构和认知结构，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的融入渗透，满足学生的认知需求，整个教学设计中，学生掌握比较好。

教学反

思

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