3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计及课堂实录

§3.1.1直线的倾斜角与斜率

教材分析：

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.

教学目标：

知识与技能:

（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）体验用代数方法刻画直线斜率的过程；

（3）掌握过两点的直线的斜率公式及应用.

过程与方法:

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想. 情感态度与价值观:

在教学中首先让学生了解知识的脉络，然后充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神. 教学重难点：

重点：1、直线的倾斜角和斜率的概念；

2、过两点的直线的斜率公式. 难点：斜率变化规律和过两点的直线的斜率公式的推导

教学方法：

学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构. 教学手段：多媒体教学

课时安排：1课时

1

教学过程

教学环节

教学内容

师生互动

学生思考回答

师：我们把这个问题转化

如果要将一根细木条固定在桌为数学问题，在直角坐标子上至少要几颗钉子？如果只有一系中，两点可以确定一条颗钉子，位置固定吗？

直线；过平面内一点，可以做无数条直线.

问题1：过一点P可以作无数条直线l1

，l2

，l3

…它们都经过点P ，教师引导，学生回答

这些直线区别在哪里呢？

问题2：怎样描述直线的倾斜程设计意图

情景引入从简单情景问题着手，创造轻松的氛围.

确定方向来刻画直线的倾斜程度

引出倾斜角

度呢？

1、直线的倾斜角的定义

当直线

l

与x轴相交时，我们取

x轴作为基准，x轴正向与直线向上的

方向之间所成角叫做这条直线的倾

提醒学生注意定义的几斜角．

个要点，并引导学生对直注意：①

直线向上的方向

线与x轴平行或重合的

②x轴的正方向

情形加以补充，完善定义

③

最小正角

问题1：这个定义完整吗？是否涵

盖所有情况？

学生思考回答，教师总结

问题2：按倾斜角分类，直线可分

几类？

2、倾斜角的范围：001800

师生总结出确定一条直

问题3：直线的倾斜程度与倾斜线的几何要素

角有什么关系呢？

让学生认识到数学的严谨性

倾斜

角概念形成及

深

化

2

想一想：日常生活中，还有没有表示

倾斜程度的量？

升高量坡度

前进量

直线斜率的概念:

一条直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率,通常用小写字母k表示.

ktan900

思考：当倾斜角变化时，斜率怎么变化？

0ktan00

斜率概念形成师：倾斜角能刻画直线的倾斜程度，但每次度量角也很不方便，那么有没有其他度量倾斜程度的量呢？

学生思考生活中的例子

回忆正切函数图象及性质，得到斜率的变化规律



给出生活中的实例，给学生感性认识，再得出坡度就是直线倾斜角的正切，从而引出斜率.

090ktan090k不存在90180ktan0及深化

练一练：判断下列说法是否正确

加深学生

1.如果直线l 的倾斜角是，则它的

斜率为tan . 对倾斜

2.与y轴平行的直线没有倾斜角. 角、斜率

3.任何一条直线都有倾斜角和斜率.

定义及关

4.直线的倾斜角存在而斜率不一定学生思考并作答，并说明

系的理解

存在.

理由.

5.直线的倾斜角越大，斜率也越大.

6.直线斜率的范围是R.

试一试：若上图中的直线l1、l2、l3、l4

的斜率分别为k1、k2、k3、k4则它们

试一试考的大小关系为？

y l3

l2

察学生对l4

l1

斜率变化

规律的掌x O

握

3

探究：已知直线上的两点P（y1），1x1，师:如果给定直线上两点斜率公式的推导P2（x2，y2）且x1≠x2，如何求出直坐标，直线是确定的，倾线P1P2的斜率？

斜角也是确定的，斜率就按照倾斜角是锐角和钝角两种情况是确定的，那么又怎么求讨论

出直线的斜率呢? y2y1

k(x1x2)x2x1

问题1：当直线与x轴平行或重合时,教师引导，师生共同完成上述公式还适用吗？

推导过程. 问题2：当直线与y轴平行或重合时,

上述公式还适用吗？

问题3：已知直线上两点P1（x1，y1），学生思考、回答

P2（x2，y2）运用上述公式计算直线P1P2的斜率时，与P1、P2的顺序有关吗？

（B-4，1），C（0，1）例1、已知点A

3，2），（(1)求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

让学生应用“斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念理解.

几个问题有助于对公式更透彻理解

例1是对斜率公式简单的应用.

例2也是斜率公式的应用，已知直线上一点和斜率，直线唯一确定.利用得到的其他一点画出直线.

思考题考查学生对斜率变化规律的掌握

师：要画出直线l1，只须再找出l1上的某一点来，那么这点怎么找呢？点的坐标要满足什么条件呢？

学生思考，解决问题

让学生快速口答

这对学生来说有难度，留作课后思考题

应用例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2和-3的直线l1、l2、l3、l4。

练习：如下图中，菱形OABC中，AOC600，求菱yCB

举形各边与对角线的倾斜角与斜率．

xOA例

备用思考题：例1第(2)问

(2)过点C的直线l与线段AB有公共点,求l 的斜率k的取值范围.

4

归纳小结1、直线的倾斜角定义及其范围

2、直线的斜率定义

ktan(90)

3、斜率k与倾斜角之间的关系

0ktan00

090ktan0师生共同小结

90k不存在

90180ktan0y2y1k(x1x2)4、斜率公式：

x2x1P89

A组

2、3、4

B组

5、6

学生课后完成

理清本节课脉络，回顾知识的形成、发展过程

作业布置

巩固知识

板书设计：

§3.1.1倾斜角与斜率

一、直线的倾斜角

1、定义

2、取值范围：001800

二、直线的斜率

1、定义：ktan900

2、k与的关系

三、斜率公式

yy

k21(x1x2)x2x1



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