复习参考题第二课时教案

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

考纲传真

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系.3.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系：

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

(3)如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．

4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

(1)“p∧q”是真命题当且仅当命题“p”与“q”均为真命题，否则“p且q”是假命题，即“全真才真，一假则假”．

(2)“p∨q”是假命题当且仅当“p”与“q”均是假命题，否则“p∨q”是真命题，即“一真则真，全假才假”．

(3)命题p与綈p有且只有一个是真命题，即“你真我假”．

1．“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？

提示：不正确，①概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定．②构成不同，对于“若p，则q”形式的命题，命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，③真值不

同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关．

2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？

提示：由逆命题为真，知q⇒p；逆否命题为假，知pD⇒/q；故p是q的必要不充分条件．

1．下列命题正确的是(

) ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；

②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；

③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；

22④“a＞b”是“ac＞bc”的充要条件．

A．②④

B．②③

C．②③④

D．③④

2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(

) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 π3．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(

) 4ππA．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1 44ππC．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝

444．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(

) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

四种命题及其关系

(1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是(

) A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜b

B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞b

C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b

D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b

(2)下列命题中为真命题的是(

) A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题

B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题

【思路点拨】

(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”．

(2)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．

【尝试解答】

(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”，故选C.

(2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；

B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；

C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；

D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题．

【答案】

(1)C (2)A,规律方法1

1.本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断．

2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．

3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．

变式训练1

(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(

) A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

(2)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为________．

【解析】

(1)“x＋y是偶数”的否定为“x＋y不是偶数”，“x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”．因此其逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．故选C.

(2)命题p是真命题，从而其逆否命题也是真命题；

命题p的逆命题是“若方程ax2＋2x＝0有解，则a＞0”是假命题，

从而命题p的否命题也是假命题，故真命题的个数为2.

【答案】

(1)C (2)2 充分条件与必要条件的判定

(1)已知条件p：(1－x)(x＋1)＞0，条件q：lg(1＋x＋1－x2)有意义，则綈p是綈q的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________．

【思路点拨】

(1)把条件和结论转化为x的取值范围，通过集合间的关系来判断．

(2)根据BA可求m的值，取其中的一个m值即可．

【尝试解答】

(1)由(1－x)(x＋1)＞0得－1＜x＜1，

即条件p：－1＜x＜1；

1＋x≥0，22由1－x≥0，得－1＜x≤1，

1＋x＋1－x＞0即条件q：－1＜x≤1；

从而綈p：x≤－1或x≥1，綈q：x≤－1或x＞1，

由于{x|x≤－1或x＞1}{x|x≤－1或x≥1}，故綈p是綈q的必要不充分条件．

(2)A＝{－3，2}，当B＝∅时，BA，此时m＝0，

111当B≠∅时，B＝{－}，则－＝－3或－＝2，

mmm11∴m＝或m＝－

32故B是A的真子集的一个充分不必要的条件是m＝0(答案不唯一)．

【答案】

(1)B (2)m＝0(答案不唯一),规律方法2

充分、必要条件的判断方法

(1)命题判断法：通过判断p⇒q与q⇒p是否成立确定p是q的什么条件．

(2)集合判断法：建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么从集合的观点看，①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B，则p是q的充要条件．

变式训练2

设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】

由不等式的性质知(a－b)·a2＜0成立，则a＜b成立，而当a＝0，a＜b成立时，(a－b)·a2＜0不成立，所以(a－b)·a2＜0是a＜b的充分而不必要条件．

【答案】

A

充分条件、必要条件的应用

设命题p：2x2－3x＋1≤0；

命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

【思路点拨】

先解不等式把命题p、q具体化，再由互为逆否命题的等价性确定p、q之间的关系，最后根据集合的关系列不等式求解．

1【尝试解答】

由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1，

2由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得

a≤x≤a＋1，由綈p是綈q的必要不充分条件知，p是q的充分不必要条件，1即{x|≤x≤1}{x|a≤x≤a＋1}

2

a≤11∴2∴0≤a≤. 2a＋1≥11【答案】

0，,规律方法3

1.本题可先求出綈p，綈q，再根据綈p、2綈q之间的关系，确定集合间的关系求解．

2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．

x＋2≥0，变式训练3

已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若qx－10≤0，是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．

【解析】

命题p：－2≤x≤10，

由q是p的必要不充分条件知，

{x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m}，

m＞0m＞0∴1－m≤－2或1－m＜－2，

1＋m＞101＋m≥10∴m≥9即m的取值范围是[9，＋∞)．

【答案】

[9，＋∞)

含有逻辑联结词的命题的真假判断

已知命题：

p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；

p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．

则在命题q1：“p1∨p2”，q2：“p1∧p2”，q3：“(綈p1)∨p2”和q4：“p1∧(綈p2)”中，真命题是(

) A．q1，q3

B．q2，q3

C．q1，q4

D．q2，q4

【思路点拨】

先判断命题p1、p2、綈p1、綈p2的真假，再根据p∧q、p∨q、綈p的真假规则判断命题q1、q2、q3、q4的真假．

x1xx－x【尝试解答】

由f′(x)＝(2－2)′＝ln 22＋＞0知，命题p1是21x真命题，綈p1是假命题；g′(x)＝(2＋2)′＝ln 22－，当x∈(0，＋∞)2时，g′(x)＞0，故命题p2是假命题，綈p2是真命题，从而命题q1、q4是真命题，故选C. 【答案】

C,规律方法4

1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p、q的真假；

(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假．

2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假x－xx

才假”，非p则是“与p的真假相反”．

变式训练4

命题p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(

) A．“p或q”是真命题

B．“p或q”是假命题

C．綈p为假命题 D．綈q为假命题

【解析】

由a·b＞0知，a与b的夹角为锐角或0°角，故命题p是假命－x＋1（x≤0）题；令f(x)＝f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，－x＋2（x＞0），但f(x)在(－∞，＋∞)上不是减函数，故命题q是假命题，从而“p或q”是假命题，故选B.

【答案】

B

一个区别_

“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．

两条规律

1.逆命题与否命题互为逆否命题；

2．互为逆否命题的两个命题同真假．

三种方法

充分条件、必要条件的判断方法

1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．

(见学生用书第6页)

从近两年高考命题来看，本节多是对充要条件的考查，少数涉及到四种命题及其真假判断，题型以客观题为主，属中、低档题，内容以数学概念、几何定理、函数或不等式的性质为载体，主要考查逻辑推理能力和等价转化思想．

思想方法之一

等价转化思想在充要条件中的应用

给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】

因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pD⇒/q，其逆否命题为p⇒綈q但綈qD⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件．

【答案】

A

易错提示：(1)没有等价转化意识，不能把綈p与q的关系转化为p与綈q的关系，导致无法求解．

(2)对充分性与必要性的定义理解不清，误选B.

防范措施：(1)题目的条件与所求中分别含有綈p、q与p、綈q，它们的否定关系暗示我们用与逆否命题等价转化已知命题．

(2)根据所求“p是綈q的什么条件”，确定条件p与结论綈q，然后确定充分性(p⇒綈q)与必要性(綈q⇒p)是否满足．

1．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，则“f(x)是奇π函数”是“φ＝”的(

) 2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

π【解析】

若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝＋2πkπ(k∈Z)，故φ＝不成立；

2ππ若φ＝，则f(x)＝Acosωx＋＝－Asin(ωx)，f(x)是奇函数，所以22πf(x)是奇函数是φ＝的必要不充分条件．

2【答案】

B 2．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．

【解析】

∵x2－4x＋n＝0有整数根，

4±16－4n∴x＝＝2±4－n，

2∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，

∴n＝3或n＝4.

当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；

当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.

∴n＝3或n＝4.

【答案】

3或4