探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优质课教案推荐

第一章

1.3

1.3.2 基础巩固

一、选择题

1．如果三个球的半径之比是1之和的(

) 5A．倍

9C．2倍

[答案]

B 36π9[解析]

设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π，＝. 20π52．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为(

) A．1

C．3

[答案]

A 4π4π3R3＋3r3＝12π，[解析]

设两球的半径分别为R、r(R>r)，则由题意得解得2πR＋2πr＝6π.R＝2，故R－r＝1. r＝1.23，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积9B．倍

5D．3倍

B．2

D．4

3．一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(

) A．C．6π

62π

2B．π

23πD．

2π[答案]

A a[解析]

由6a＝4πR得＝R222πV1a33，∴＝＝3V2434ππR36π2π3＝. 634．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(

) A．C．

B．5D．

[答案]

D

S柱2πR2＋4πR2[解析]

设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，∴＝＝4πR2S球3. 25．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(

)

A．9π

C．11π

[答案]

D [解析]

本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由．．．．．题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为

2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.

a6．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a4的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(

) A．V甲>V乙且S甲>S乙

C．V甲＝V乙且S甲>S乙

[答案]

C 11[解析]

计算得V甲＝πa3，S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙．

66二、填空题

7．(2013·陕西)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________. B．V甲

D．V甲＝V乙且S甲＝S乙

B．10π

D．12π

[答案]

3π

[分析]

由三视图可知该几何体为半个球，利用球的表面积公式求解即可．

1[解析]

由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.

28．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________. 36[答案]

π4[解析]

设球O的半径为r，则πr3＝23，

336解得r＝. π三、解答题

9．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．

[解析]

设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2. 4由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，

33331∴R＝a，r＝a，

4π2π39233322∴S2＝4πa＝4π·16π2a＝36πa，

4π31233122S3＝6πa＝6π·4π2a＝54πa，

2π∴S232πa2＝54πa2，即S1>S3. ∴S1、S2、S3的大小关系是S2

(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)? (2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？

[解析]

(1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，

所以两个半球的体积之和为

44V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)．

33又圆柱筒的体积为

V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．

所以这种“浮球”的体积是：

V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3)．

(2)根据题意，上下两个半球的表面积是

S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)，

又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：

S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，

所以1个“浮球”的表面积为

36π＋12π48S＝＝4π(m2)．

4101048因此，2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S＝2500×4π＝12π(m2)．

10因为每平方米需要涂胶100克，

所以共需要胶的质量为：100×12π＝1200π(克)．

能力提升

一、选择题

1．(2015·广东深圳一模)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(

)

[答案]

B [解析]

选项D为主视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B．

2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是(

)

A．4

C．2

[答案]

B [解析]

BD＝5，AC＝22，

B．3

D．5

CD＝OD－OC＝R2－BD2－R2－AC2＝R2－5－R2－8＝1.解得R＝3. 3．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为么这个正三棱柱的体积是(

) A．963

C．243

[答案]

D [解析]

由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间截得球的大圆内切于正三4角形，正三角形与棱柱底的三角形全等，设三角形边长为a，球半径为r，由V球＝×πr3332π11＝解r＝2.S△＝a2sin60°＝a·r×3，得a＝23r＝43，所以V柱＝S△·2r＝483. 3224．(2015·河北衡水中学下学期二调考试) 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为(

) B．163

D．483 32π，那3

A．C．2π1＋

322π1＋

664π1B．＋

362π1D．＋

32

[答案]

C 11[解析]

由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V＝×(3242112π×1×1)×1＋[π()3]×＝＋，故选C．

32266二、填空题

5．(2015·甘肃武威铁路中学专题训练) 一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________.

[答案]

16π

1[解析]

该几何体是从一个球体中挖去个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积4π×2232为×(4π×2)＋2×＝16π. 426．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为________. [答案]

[解析]

V柱＝πR2×2R＝2πR3，

12πV锥＝πR2×2R＝R3，

334V球＝πR3. 3V柱V锥V球＝三、解答题

7．某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9 g/cm3)，每个钢球重145 kg，并且外径等于50 cm，试根据以上数据，判断钢球是空心的还是实心的．如果是空心的，请你计算出它的内径(π取3.14，结果精确到1 cm,2.243≈11.24098)．

450[解析]

由于外径为50 cm的钢球的质量为7.9×π×()3≈516792(g)，

32街心花园中钢球的质量为145 000 g，而145 000<516 792，

所以钢球是空心的．

设球的内径为2x cm，那么球的质量为

45047．9×[π×()3－πx3]＝145 000. 323解得x3≈11 240.98，

∴x≈22.4,2x≈45(cm)．

即钢球是空心的，其内径约为45 cm. 8．已知正四面体的棱长为a，求它外接球的体积及内切球的半径．

[解析]

如图，设SO1是正四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．

设外接球半径为R. ∵正四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，

233∴AO1＝×a＝a，

323SO1＝SA2－AO21＝16a2－a2＝a，

33222在Rt△OO1A中，R2＝AO21＋OO1＝AO1＋(SO1－R)，

即R2＝(解得R＝326a)＋(a－R)2，

336a，

446∴所求外接球体积V球＝πR3＝πa3. 38∴OO1即为内切球的半径，OO1＝∴内切球的半径为

6a. 12666a－a＝a，

3412