等边三角形的判定教案2

等边三角形的判定

教学目标

1、在具体情境中经历“探索—发现—猜测—证明”的过程，认识证明的必要性。

2、掌握等边三角形的两个判定定理的证明过程，并能用它们证明有关命题。

3、理解定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”的证明思路，并能进行简单应用。

4、通过定理的逻辑证明，让学生逐步学会用数学符号语言有条理地表达思维过程，发展学生的推理意识和能力。

教学重点

探索等边三角形的两个判定定理，以及定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”。

教学难点

证明定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。”时辅助线的作法。

教学过程

1、

情境导入

观察与思考；

（1）

如图，具备什么条件的三角形是等腰三角形？

（2）

如图，具备什么条件的三角形是等边三角形？

AA（3）

BC

补充条件

BC AA补充条件

如图，具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？

2、探索定理

（1） 探索判定定理：有三个角相等的三角形是等边三角形

（2） 探索判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形

要分两种情况进行证明。

归纳形成等边三角形的判定定理

（4）

探索定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

1 BCBC

（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）

[生]用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

AAB

其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

[生]图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

[师]同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？

[生]在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半．

[师]我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？

[生]可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．•而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=以BD=D(1)CBD(2)C1BC．所21AB，•即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．

2

[师生共析]这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．•下面我们一同来完成这个定理的证明过程．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：BC=1AB．

2AAC

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．

延长BC至D，使CD=BC，连接AD（如下图）

∵∠ACB=60°，

∴∠ACD=90°．

∵AC=AC，

BBCD

2

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．

∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．

∴BC=11BD=AB．

22

[师]这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．

（演示课件）

B

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，D立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

AEC

分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=所以DE=11AD，BC=AB，又由D是AB的中点，221AB．

4

解：因为DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，由定理知

11AB，DE=AD，

221

所以BD=×7.4=3.7（m）．

21

又AD=AB，

211

所以DE=AD=×3.7=1.85（m）．

22

BC=

答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m．

[师]再看下面的例题．

[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．

求：CD的长．

分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，B而∠DAC是△ABC的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD．

解：∵∠ABC=∠ACB=15°，

∴∠DAC=∠ABC+∠BAC=30°．

∴CD=DAC1AC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于2斜边的一半）．

[师]下面我们来做练习．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P146练习

Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC•之间有什

3

么关系？

答案：∠B=60°，∠A=30°，AB=2BC．

（二）补充练习

1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．

求证：BD=1AB．

4C

证明：在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴BC=1AB．

2BDA

在Rt△BCD中，∠B=60°，

∴∠BCD=30°．

1BC．

21

∴BD=AB．

4

∴BD=

2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．

求证：其中一条是另一条的2倍．

已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分线．

求证：CD=2AD．

证明：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，

∴∠ABC=60°，∠C=30°．

A

又∵BD是∠ABC的平分线，

D

∴∠ABD=∠DBC=30°．

∴AD=1BD，BD=CD．

2

∴CD=2AD．

Ⅳ．课时小结

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P148─11、12、13、14题．

（二）预习P151～P152，并准备活动课．

1．找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字．

2．思考镜子对实物的改变．

Ⅵ．活动与探究

在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．

过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．

A

结果：

已知：如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=求证：∠BAC=30°．

证明：延长BC到D，使CD=BC，连结AD．

BC1AB．

2B(1)4 C

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC，

∴△ACB≌△ACD（SAS）．

∴AB=AD．

∵CD=BC，

1BD．

21

又∵BC=AB，

2

∴BC=A

∴AB=BD．

∴AB=AD=BD，

即△ABD为等边三角形．

∴∠B=60°．

BDC

在Rt△ABC中，∠BAC=30°．

(2)

板书设计

§14．3．2．2

等边三角形（二）

一、定理的探究

定理：在直角三角形中，有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、范例分析

三、随堂练习

四、课时小结

五、课后作业

备课资料

参考例题

1．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．

求证：AN=BM．

证明：△ACM与△CBN是等边三角形．

N

∴∠ACM=∠BCN．

∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠NCM，

M

即∠ACN=∠MCB．

在△ACN和△MCB中，

,ACMC,

B

ACNMCCNC,BACB

∴△ACN≌△MCB（SAS）．

∴AN=BM．

2．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，•CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？

解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm．

∴BC=1AB=5cm．

2B1B5

AC1C

∵CB1⊥AB，

∴∠B+∠BCB1=90°．

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠BCB1=∠A=30°．

在Rt△ACB11中，BB1=2BC=2.5cm．

∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5（cm）．

∴在Rt△AB1C1中，∠A=30°．

∴B11C1=2AB=112×7.5=3.75（cm）．

6