12.1 二次根式优秀获奖教案

12.1

二次根式

1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；

教学目标

2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；

3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．

教学重点

探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．

1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的教学难点

性质；

2．理解、掌握、运用二次根式性质（a

）2＝a（a≥0）．

教学过程（教师）

情景引入：

学生活动

观察图片，回答问题．

设计思路

给学生展现生情景一

这是天安门广场前的学生一：正方形的边长是30 m；

活中常见的两张图大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．

学生二：圆的半径是Sπ

m；

片，让学生感受到数学知识的学习的源学生三：钢索的长度是a2＋81 m．

动力来自于生活，激发学生探求数学知识与生活中的实际问题联系的欲望，避免知识的机械呈现．

如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？

如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？

情景二

这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？

课题引入：

S30 、π

、a2＋81 、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？

积极思考，回答问题．

1．这些式子都含有根号…；

从由学生熟悉的情景入手得到式2．符合这些特征的式子有：子，结合平方根的概16 、2 、a

、…．

念，引导学生理解所给的一些式子的实际意义，从而自然给出二次根式的意义．

思考探索一：

1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？

（1）35 ；（2）31．互相讨论，踊跃回答：

通过学生相互参考答案：（1）、（2）是二次根讨论使学生主动参式，（3）、（4）都不是．

与到学习活动中来，培养学生合作交流2．独立思考，直接回答：

的学习习惯，问题设―(―3)2

；

（3）2 ；（4）xy

（x、y异号）．

2．说一说，下列各式是二次根式吗？

为什么？

（1）32 ；（2）－12 ；

（3）a2＋1 ；（4）－m

（m≤0）

3．（1）当a＜0时，a

有意义吗？为什么？

参考答案：（1）、（3）、（4）是置的目的，是使学生二次根式，（2）不是．

3．集体讨论，代表解答：

（1）没有意义，因为负数没有算术平方根；

（2）不可能，即a

是非负数，充分理解二次根式的意义．

（2）当a≥0时，a

可能为当a≥0时，a

≥0．

负数吗？为什么？

思考探索二：

1．例2

x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？

（1）x1；（2）x22；

（3）x2；（4）132x1．小组讨论，代表回答：

通过学生相互（1）解：由二次根式的意义知：讨论设置的问题2，x＋1≥0，∴x≥－1，

侧重巩固对二次根∴当x≥－1时，

式子x1在式意义的理解，提高实数范围内有意义．

（2）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有x2＋2≥0．

∴x取任何实数时，式子学生分析问题的能力，培养学生善于思考、精益求精的良好思维习惯，培养学生缜密、严谨的逻辑推．

2．练习：课本P149第1题．

x22在实数范围内都有意义．

（3）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有－x2≤0，

又∵二次根式的被开方数大于等于零；

∴－x2≥0，∴x2＝0，即x＝0 ，

∴当x＝0时，

式子x2在实数范围内有意义．

（4）解：由题意知：

理能力．

3－2x≥0．

3－2x≠0∴3－2x＞0，∴x＜∴当x＜3，

213时，在实数232x范围内有意义．

2．独立思考，直接回答．

思考探索三：

1．2的意义是什么？你会计算221．小组交流，代表回答：

通过观察一些2 是2的算术平方根，根据算特殊的情形，运用从2特殊到一般的数学思想归纳猜想二次（2 ）吗？类似地，（4 ）、术平方根的意义，（2 ）＝2，同（4 ）2＝4，（9 ）2＝9，根式的性质，再运用（9 ）2、（0.01）2、（30）2的理：2结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（0.01）2＝0．01，（30 ）＝30．

算术平方根的意义（a）2的结果是什么？

2．例3

计算：

（1）（12）2；（2）（2进行科学的说理验事实上，a

（a≥0）是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，证．

通过问题2的设置，理解二次根式的（2）（22）；

3可知：当a≥0时，（a）2 ＝

a．

2．解：（1）（12）2 ＝

12；（3）（ab）（a＋b≥0）．

3．例4

计算：

（1）（x21）2－（x2）2；

（2）（36）；（3）（－2222 2）＝；

33（3）当a＋b≥0时，2性质，能直接运用其性质解决问题．

通过问题3、412）．

（ab）＝a＋b．

24．如图，长33米的梯子靠在2 23．解：（1）（x21）－（x2）的设置，理解二次根＝

x 2＋1－x2＝1；

式的性质，能运用其墙上，梯子的底部离墙角11米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．

2（2）（36）2＝32×性质解决一些简单的综合性的问题，提高学生的计算、理解（6）＝9×6＝54；

33

（3）（－212）2＝（－和综合运用能力．

2）2×（11）2＝4×＝2．

2211

5．练习：《课本》P149第2题．

4．h＝4米．

5．略．

总结：

1．二次根式的意义；

2．二次根式有意义的条件；

3．二次根式的基本性质．

讨论后共同小结．

师生互动，锻炼学生严谨的口头表达能力，培养学生有条理地梳理知识点、有目的地整合知识点之间的能力．

课后作业：

1．《课本》P151第1、2题．

2．思考：若实数x、y满足x3＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．

独立完成，自查反馈．

进一步理解二次根式的意义与二次根式基本性质的运用．