⊙ 生活中的“一次模型”教学设计及课堂实录

综合与实践

生活中的“一次模型”

综合运用一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的相关知识解决问题,体会三者之间的内在联系.

经历用数学的眼光发现现实生活中的数学问题,尝试提出问题,并加以解决的全过程,体会模型思想,发展应用意识,提高实践能力,了解数学的价值.

反思参与活动的全过程,将研究的过程和结果形成报告,并能进行交流,进一步积累数学活动经验.

【重点】

在问题解决过程中综合运用所学数学运算及代数式等有关知识,体会知识之间的内在联系,形成对数学整体性的认识.

【难点】

分时电表计费规律的探索.

【教师准备】

实践活动用的图表、备选资料.

【学生准备】

预习新课,查阅资料.

【导入语】

同学们认识大屏幕上的电表(展示电表的画面,如下图所示)吗?它和你家的是否一样,它所显示的数字和我们平时见到的是否一样呢?

小明所在的小区用上了这样的电表,前期我安排小明等几个学生调查了他们小区的电表,得到一些数据,这节课我们利用这些数据,运用所学的知识,研究一些问题.

(板书课题:综合与实践

生活中的“一次模型”)

我市现在有两种用电收费方法:

分时电表

峰时(8:00 谷时(21:00 普通电表

分时电表

~21:00)

到次日8:00)

电价0.55元

电价0.35元

电价0.52元

/千瓦·时

/千瓦·时

/千瓦·时

小明所在的小区用的是分时电表.

问题:家庭使用分时电表是不是一定比普通电表合算呢?

【解决问题】

解:设某家庭某月用电总量为a千瓦·时(a为常数).其中,谷时用电x千瓦·时,峰时用电(a-x)千瓦·时,分时计价时总价为y1元,普通计价时总价为y2元.

则函数关系式为:y1=0.35x+0.55(a-x),y2=0.52a.

当0.35x+0.55(a-x)=0.52a时,解得x=0.15a.此时,y1=y2.

说明如果一个家庭每月在谷时的用电量等于每月总用电量的15%,则两种方法费用相等.

当0.35x+0.55(a-x)>0.52a时,解不等式,得x<0.15a.此时,y1>y2.

说明如果一个家庭每月在谷时的用电量小于每月总用电量的15%,则普通电表合算.

当0.35x+0.55(a-x)<0.52a时,解不等式,得x>0.15a.此时,y1

说明如果一个家庭每月在谷时的用电量大于每月总用电量的15%,则分时电表合算.

[设计意图]

为学生提供一个思考探究的平台,在活动中体现归纳、猜想,感悟处理问题的方法和策略,积累数学活动经验.

小明家最近两个月用电的收据:

谷时用电

峰时用电

合计(元)

(千瓦·时)

(千瓦·时)

181×0.35+239×

181 239 0.55=194.80

根据上表,我们进行计算:

x=181,a=181+239=420,

x÷a=181÷420≈0.43,

0.43>0.15,

所以用分时电表是合算的.

(当然,仅仅根据两个月的数据来判断是远远不够的,需收集多个月的数据来判断,这里由于时间较短,无法收集齐全)

[设计意图]

利用所学的一次函数和一元一次不等式的知识解决实际问题,给学生一个实际应用所学知识的机会.

【进一步研究】

根据分时电表的特点,除了日常必须按时进行的一些用电外,如果能将可调用电时间控制在21:00~8:00(谷时),使

的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费.对此,进行归纳和分析:

部分家庭电费明细表/月

用电

时间

谷时

峰时

时间

电器

功率

量

差额

(时

电费

电费

是否

名称

(W)

(kW

(元)

/天)

(元)

(元)

可调

·h)

洗衣机

294

1.5

13.23

4.63

7.28

2.65

是

电

灯

40

5.0

6.00

2.10

3.30

1.20

否

电水壶

1800

0.5

27.00

9.45

14.85

5.40

是

电饭煲

500

0.5

7.50

2.63

4.13

1.50

否

电冰箱

140

10.0

42.00

14.70

23.10

8.40

否

电视机

80

6.0

14.40

5.04

7.92

2.88

否

门

灯

3

24.0

2.16

0.76

1.19

0.43

否

合

计

2857

47.5

112.29

39.21

61.77

22.46

注:1 kW·h=1000 W×1 h

月用电总量(kW·h)=功率×使用时间×30÷1000

根据上表,我们认为洗衣、烧水等时间可调,功率较大的电器放在谷时工作,这样就可以充分发挥分时电表的优势,使的值尽可能大,就可以最大限度地节省电费,如果家家户户都能这样做的话,必定可以节省一笔不小的开支.

[设计意图]

通过前一环节的学习,学生发现了此类问题的探究方法,通过类比可较快得出本题的规律所在.由于探究过程所需的相关知识并不复杂,所以大部分学生都能经历观察、比较、猜想、推理、交流、反思的数学活动过程,有利于发展学生数学地思考.而且通过与同伴合作、克服困难,能提升学生的自信心,进

一步提升学生学习的热情.课程标准指出我们的数学课程应当使“不同的人在数学得到不同的发展”,鼓励学有余力的学生将问题进一步延伸与拓展,获得高层次能力的发展,努力使他们的创新思维及问题意识得以提升.

1.本课题评价的重心在于让学生真实体验数学问题研究和解决的全过程.

2.关注学生自主参与,培养合作能力和反思意识.

3.关注学生模型思想的建立,即能从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义.

4.关注学生用数学的视角分析和理解现实问题.对于问题研究的深度,可以让不同层次的学生选择不同的问题情境,也可以不同程度的融合数学知识,让不同的学生得到不同的发展.

5.关注学生对于一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的综合运用能力,研究成果的逻辑性、实用性以及报告的精练、准确程度.

(补充例题)如图所示,大拇指与小拇指尽量张开时,两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据:

指距d(cm)

20 21 22 23 身高h(cm)

160 169 178 187

(1)求出h与d之间的函数关系式;(不要求写出自变量d的取值范围)

(2)某人身高为196 cm,一般情况下他的指距应是多少?

解:(1)设h与d之间的函数关系式为:h=kd+b.

把d=20,h=160;d=21,h=169分别代入,得

解得k=9,b=-20,

即h=9d-20.

(2)当h=196时,196=9d-20,

解得d=24(cm).

即某人的身高为196 cm,一般情况下他的指距为24 cm.

1.体会到数学就在自己的身边.

2.分时电表的特点和计费规律.

【备选问题】

问题1

某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取月用水量分段收费的办法.某户居民应交水费y(单位:元)与用水量x(单位:吨)的函数关系如图所示.

(1)分别写出当0≤x<15和x≥15时,y与x的函数解析式;

(2)某用户该月用水21吨,则应交水费多少元?

问题2

我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书,有两个印刷厂前来联系制作业务.甲厂的优惠条件是:按每份定价1.5元的八折收费,另收900元制版费;乙厂的优惠条件是:每份定价1.5元的价格不变,而制版费900元六折优惠.且甲、乙两厂都规定:一次印刷数至少是500份.

(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;

(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案?如果这个中学要印制2000份录取通知书,那么应选

择哪个厂?需要多少费用?

【备选研究主题】

主题1

探索出租车如何计价

1.日间出租车计价与里程数之间的函数关系;

2.夜间出租车计价与里程数之间的函数关系;

3.当遇到红灯或堵车时的计价情况等.

主题2

探索商场促销现象

节假日商场经常打出打折的牌子,在各种以打折名义进行的促销活动中,如何选择最实惠的商品是大多数人常常面临的问题.

调查学校或居住小区附近某一商场的促销方式,列出相应的方程、函数或不等关系并作出分析,用你得到的结论,指导周围的人理性消费.

主题3

关于教育支出的调查

1.计算一下自己从现在起到参加工作,总共需要多少教育资金.

2.考虑你如何支付这些费用,帮家长写一个储蓄计划.

3.用不等式来表示你从各种渠道所能储蓄的钱的最低数量.

4.将你的调查与同学交流一下,让大家看看你的调查是否可行?如果可能请他们提供改进的建议.