直角三角形的性质与判定ppt配套的板书设计及意图

1.2直角三角形的性质与判定（一）

中卫市沙坡头区宣和镇东台学校 杨爱

学情分析：

直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的．

教学目标：

1.证明直角三角形的性质定理及判定定理. 2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 3.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．

教学重点：

1.了解勾股定理及其逆定理的证明方法．

2.结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．

教学难点：

勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学过程

一、复习引入

活动内容：

问题：我们曾经探索过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流

处理方式：让学生回顾前面所学习的直角三角形的性质和判定方法，主要是从角和边上回答

设计意图：让学生复习回顾前面所学习的有关直角三角形的性质和判定，为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备，激发学生学习兴趣和求知欲，为新课的学习做下铺垫.

要求不局限于课本中呈现的性质与判定，只要是学生提到的相关内容，都给予肯定。

二、探究新知

活动内容1：关于直角三角形角的性质与判定

（一）直角三角形的直角

问题：一个三角形是直角三角形，关于直角能想到性质与判定有哪些？还需要证明吗？

结论：直角三角形有一个角是直角

有一个角是直角的三角形是直角三角形

设计意图：学生从基础的定义及性质入手，而且明白定义是不用证明的，直接应用

（二）直角三角形的两锐角

问题1.直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？

问题2.如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

结论：

定理：直角三角的两个锐角互余；

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°

求证：∠A＋∠B＝90°

证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

∵∠C＝90°

∴∠A＋∠B ＝180°－∠C ＝180°－90°

＝90°

∴∠A与∠B两个锐角互余

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形

已知：如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°

求证：△ABC是直角三角形。

证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°

∵∠A＋∠B＝90°

∴

∠C＝180°－（∠A＋∠B）

＝180°－90°

＝90°

A

C

B

A

C

B

∴△ABC中是直角三角形

处理方式：学生回答出直角三角形的两锐角关系定理和逆定理内容，并在教师的指导下，让学生自己对两个定理进行证明. 设计意图：让学生通过分析归纳总结出直角三角形的两锐角定理和其逆定理内容，并能够对定理和逆定理进行证明. 活动内容2：关于直角三角形边的性质与判定（勾股定理及其逆定理）

问题1.直角三角形的三条边有什么样的数量关系？你能证明吗？

问题2.在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方是，它是直角三角形吗？

结论：

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

证明方法一：古印度的“无字证明”

证明方法二：毕达哥拉斯的证明

证明方法三：课本17页欧几里得在《原本》中勾股定理的证明

（根据学生实际情况，证明方法选取其中的一种证明，有兴趣的学生可自学其它证明方法）

勾股定理逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

已知：如图：在△ABC中，AB+AC＝BC

求证：△ABC是直角三角形．

分析：要从边的关系，推出∠A＝90°是不容易的，如果能借助于△ABC与一个直角三角形全等，而得到∠A与对应角(构造的三角形的直角)相等，可证．

证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′、AC(如图)，

则A′B′2＋A′C′2.(勾股定理)．

∵AB＋AC＝BC，A′B′＝AB，A′C′

∴BC2＝B′C′2

∴BC＝B′C′

222222ABCA'B'C'

∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）

∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．

因此，△ABC是直角三角形．

处理方式：让学生根据以前所学的勾股定理和逆定理的知识直接回答出定理的内容，对于证明学生有一定的难度，尤其是逆定理的证明，在证明时教师加以指导. 设计意图：本活动的设计意让学生掌握勾股定理及其逆定理的内容，了解证明的方法.对于勾股定理及其逆定理主要是让学生掌握其应用，因此在证明时只要求学生能够接受证明的方法和过程即可，不宜对学生提出更高的要求. 活动内容3：互逆命题和互逆定理．

（一）互逆命题

问题1：观察上面两组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系?在前面的学习中还有类似的命题吗? 通过观察，学生会发现：

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．

问题2：观察下面三组命题：

如果两个角是对顶角，那么它们相等．

如果两个角相等，那么它们是对顶角．

如果两个有理数相等，那么它们的平方相等

如果两个有理数的平方相等，那么它们相等. 三角形中相等的边所对的角相等．

三角形中相等的角所对的边相等．

上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗?与同伴交流．

不难发现，每组第二个命题的条件是第一个命题的结论，第二个命题的结论是第一个命题的条件．

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题．

（二）互逆定理

问题：再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题，如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢? 结论：

在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题．

在第三组中，原命题和逆命题都是真命题．

由此我们可以发现：原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．

要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到了逆命题．

互逆定理：如果有些命题，原命题是真命题，逆命题也是真命题，那么我们称它们为互逆定理.其中一个定理称另一个定理的逆定理. 能举例说出我们已学过的互逆定理? 如我们刚证过的勾股定理及其逆定理，“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．“全等三角形对应边相等”和“三边对应相等的三角形全等”、“等边对等角”和“等角对等边”等。

设计意图：通过师生的共同探究，使学生掌握互逆命题和互逆定理的定义，提高了推理及归纳能力，进一步发展学生的逻辑思维和发展演绎推理能力. 同时，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到数学逻辑关系存在的必然性,掌握了对数学问题初步的推理证明方法. 三、随堂练习

1.在△ABC中，已知∠A＝∠B＝45°,BC=3,求AB的长. 2.已知：在△ABC中，AB=13cm, BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证：AB=AC 3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形；

(2)两直线平行，内旁内角互补；

(3)如果ab＝0，那么a＝0， b＝0 4.在RtABC中，C90,AC9,BC12,则点C到AB的距离是多少？

5.

如图，在四边形ABCD中，AB//CD,E为BC上的一点，且BAE25，CDE65，AE2,DE3,求AD的长。 A B

A

E

ED B 设计意图：在这里采取趣味答题，学生自主选择题目来解答，提高学生学习兴趣。

四、课堂小结

通过这节课的学习，你学到了哪些知识？你有哪些收获？有何感想？学会了哪些学习的方法？先想一想，再分享给大家．

学生畅谈自己的收获、感想！

设计意图：对课堂所学知识的及时总结与梳理，可以使学生对本节课所学知识形成体系，以利于学生掌握与记忆，同时也能培养学生养成反思与总结的的良好习惯. 五、课后作业

必做题:习题1．5第1、2、3、4题

选做题：习题1．5第5题

D

CC