22.1 一元二次方程优质课教案设计

21．1

一元二次方程

教学目标

1．理解一元二次方程的概念．

2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项．

教学重点

一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念．

教学难点

通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型．

教学过程设计

一、创设情景

明确目标

展示图片并提问：

请同学们独立完成下面问题：

[数学建模]要设计一座2 m高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部BC(肚脐以上)与下部AC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度．

该问题可转化为下面的数学模型：如图，C为AB上一点，AB＝2，AC、AB、BC间存在等量关系AC,AB＝BC,AC，点C叫做线段AB的黄金分割点．

如果假设AC＝x，那么BC＝________，根据题意，得：________．

整理得：________．

请完成上述填空．

学生思考回答：

归纳导入：如果假设AC＝x，BC长度为2－x，根据存在的等量关系AC,AB＝BC,AC可列方程x2＝2(2－x)，整理后得x2＋2x－4＝0.这个方程与我们学过的一元一次方程有什么不同？如何解这类方程？如何利用这类方程解决实际问题？

二、自主学习

指向目标

1．自学教材第2至3页．

2．学习至此：请完成学生用书“课前预习”部分．

三、合作探究

达成目标

探究点一

一元二次方程的概念

活动一：写出章节前引例及教材第2页问题1和问题2中的三个方程，相互交流思考下面的问题：

(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？

(2)从整式中的多项式的次数来看，它们最高次数是几次？

【展示点评】上述3个方程x2＋2x－4＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x－56＝0，都只含

有一个未知数，最高次数都是2，都是一元二次方程．

【小组讨论】一元二次方程有什么特点？与一元一次方程相比有什么不同？

【反思小结】一元二次方程的三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．注意：这些都是在方程经过去分母，去括号，移项，合并同类项等变形后得到一般形式的基础上归纳的．与一元一次方程相比只是未知数的最高次不同．

【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一．

探究点二

一元二次方程的一般形式

活动二：1.如何表示一元二次方程的一般形式？为什么要限制a＝0？b、c可以为0吗？

2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【展示点评】1.一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常数)，当a＝0时，无二次项，b，c可以为0. 2．方程3x(x－1)＝5(x＋2)的一般形式是3x2－8x－10＝0，二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10. 【小组讨论】如何确定一元二次方程的方程系数a、b、c? 【反思小结】在确定a、b、c时，必须将一元二次方程化成一般形式，用整式运算进行整理．在a，b，c三个字母中，可以等于0的有b和c. 【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二．

探究点三

一元二次方程的根

活动三：x＝2是方程3x(x－1)＝5(x＋2)的解吗？为什么？

【展示点评】把x＝2分别代入方程的左、右两边，得到左边≠右边，所以x＝2不是原方程的解．

【反思小结】一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根，判断一个数是否是一元二次方程的根的方法是将此数代入方程，若能使等式成立，则此数就是一元二次方程的根，否则就不是。

【针对训练】

见学生用书“当堂练习”知识点三

四、总结梳理

内化目标

1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，我们把ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式．

五、达标检测

反思目标

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是( A ) ①3x2＋7＝0，②ax2＋bx＋c＝0，③(x－2)(x＋5)＝x2－1，④3x2－5,x＝0. A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

2．关于x的方程ax2＋3x－2＝2x2是一元二次方程，则a的取值范围是__a≠2__．

3．关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋mx－1＝0是一元二次方程，则m＝__3__．

4．将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

【答案】

4x2－26x＋22＝0，二次项系数为4，一次项系数为－26，常数项为22.

5．已知关于x的方程(a＋6)x|a|－4＋(a－6)x－3＝0，问：(1)a为何值时它是一元一次方程？(2)a为何值时它是一元二次方程？

【答案】

(1)a＝－6或±5时为一元一次方程；(2)a＝6时为一元二次方程．

六、布置作业

巩固目标

1．上交作业

教材第4页第1，2题．

2．课后作业

见学生用书的“课后作业”部分．

七、教学反思