三角形中的角平分线优质课教案

平川区第二中学集备标准教案设计

备课要求：

全册通备、逐节精备、生课熟备、熟课新备、课前默备、课后复备

备课教师：黑维高

时间：

3.12

第

三

周

第

3 课时

授课年级：八年级

课 题

1.4角平分线（2）

课 型

新授课

知识能力目标：1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．

过程与方法：1.进一步发展学生的推理证明意识和能力．2.培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．3.提高综合运用数学知识和方法解教学目标

决问题的能力．

情感与价值：1.能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学方法

教具

1.三角形三个内角的平分线的性质．

教学重点

2.综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．

教学难点

角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．

通过上节的学习，学生对于角平分线性质定理和逆定理均有一个很深的了解学情分析

和理解，在此基础上本节主要是通过例题来巩固定理和逆定理的应用，提高学生证明推理能力。

课前集备预设

意见

学生可能会提到折纸证明、软件演示等方式证明.

第一轮教案补充

第二轮教案补充

教学过程：

教师活动设计

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台

问题l

习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？

教学内容

于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”

．

第二环节：展示思维过程，构建探究平台

已知：如图，设△ABC的角平分线．BF、CN相交于点P，

教师要引导学生进行逻辑上的证

明。

证明：P点在∠BAC的角平分线上．

证明：过ADNPBECMFP点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．

∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．

同理：PE=PF．

∴PD=PF．

∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．

∴△ABC的三条角平分线相交于点P．

在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢? （PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）

于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理

三边垂直平分线

三条角平分线

锐角三角交于三角形内形

三角形

一点

交于三角形内一点

钝角三角交于三角形外形

一点

直角三角交于斜边的中形

点

到三角形三个交点性质

顶点的距离相等

问题2 如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? ACl1l2B到三角形三边的距离相等

要求学生思考、交流。实况如下：

[生]有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．

[生]我找到四处．(同学们很吃惊)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为l3

学生可能有几中思考的结果

教师实时点评

在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外

角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用

角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在

∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相

等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分

线的交点P3；因此满足条件共4个，分别是P、

P1、P2、P3

l1

AC

l2P

B

P1l3

第三环节：例题讲解

[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，本例需要∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，运用前面垂足为E．

所学(1)已知CD=4 的多A个定cm，求AC的长；

理，(2)求证：而且将计EAB=AC+CD．

算和分析：第(1)问中，证明B融合CD求AC的长，需求出在一BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD起，在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性目的是使质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出学生DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是进一步理我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的解、思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．

掌握这些(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，

知识

教师强调学生对求解过程的规范要求

和方法，∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角并能综合两边的距离相等)．

运用∵∠AC=∠BC

∴∠B=∠BAC(等边对等它们解决角)．

问∵∠C=90°，

题．

1∴∠B=2

×90°=45°．

∠C=90°，DE⊥AB．

∴∠BDE=90°—45°＝45°．

∴BE=DE(等角对等边)．

在等腰直角三角形BDE中

BD=2DE2.=4 2 cm(勾股定理)，

∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm．

(2)证明：由(1)的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE．

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD．

[例2]已知：如图，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D．

求证：(1)OC=OD；

(2)OP是CD的垂直平分线．

CAOEDPB

证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，

PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．

在Rt△OPC和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，

∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)．

∴OC=OD(全等三角形对应边相等)．

(2)又OP是∠AOB的角平分线，

∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．

思考：图中还有哪些相等的线段和角呢? 第四环节：课时小结

本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定理等解决了几何中的计算和证明问题．

作业布置

习题1.10 1、2、

1.10 角平分线（2）

板书设计

第一环节：设置情境问题，搭建探究平台；

第二环节：展示思维过程，构建探究平台；

第三环节：例题讲解；第四环节：课时小结;第五环节：课后作业。

课后反思

学困生活动让学困生多参与解题过程的分析与处理

设计

教研（备课）组长签字

教务处

（抽）检查