3.4 生活中的优化问题举例教案范文

3.4 生活中的优化问题举例

●三维目标

1.知识与技能

通过用料最省，利润最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，并且会利用导数解决简单的实际生活优化问题．

2．过程与方法

让学生参与问题的分析，探究解决过程，体会数学建模，从而掌握用导数法解决优化问题的方法．

3．情感、态度与价值观

形成数学建模思想，培养学生应用数学意识，进一步体会导数作为解决函数问题的工具性．激发学生学习热情，培养学生解决问题的能力和创新能力．

●重点、难点

重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

难点：优化问题的数学建模与求解方法的掌握．

●教学建议

教学中，先给出一些有背景的问题，让学生从生活经验角度思考问题，在此基础上，逐步引入的数学问题，按照学生的思维过程，逐步展开问题、解决问题，然后再给出一些有思维价值的题目，让学生在分析问题、解决问题的过程中，体会数学建模的过程，培养应用数学的意识和能力，同时化解了本节的重点，突破了难点．

课前自主导学：

知识1：导数在实际问题中的应用

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．

问题导思

优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？

答：函数的最大、最小值．

知识2：解决优化问题的基本思路

优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问

题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．

二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题. 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

三．典例分析

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

128dm,此时四周空白面积为

x128512

S(x)(x4)(2)1282x8,x0. xx

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512. 2x512令S'(x)220，解得x16(x16舍去）. x128128于是宽为8. x16S'(x)2当x(0,16)时，S(x)<0；当x(16,)时，S(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小. 答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小. 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为

6cm 问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

''

r34322

yfr0.2r0.8r0.8r,0r6

33令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

2当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

例3：磁盘的最大存储量问题

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数. 问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．

（1）

是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2）

r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数.

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道Rr.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存m2r储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达.所以，磁盘总存储量

nRr2r2×r(Rr)

f(r)mnmn不存储任何信息，故磁道数最多可达

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．

（2）为求f(r)的最大值，计算f(r)0．

2R2r

mnR令f(r)0，解得r

2RR当r时，f(r)0；当r时，f(r)0．

22f(r)

R2R2因此r时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为

4mn.2例4：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，

则表面积S=2πRh+2πR2

V，则

2RV22VS(R)= 2πR+ 2πR=+2πR2

2RR2V令

s(R)2+4πR=0 R由V=πR2h，得h解得，R=3VV，从而h==22R4VVV=3=23

V2(3)2即h=2R

因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

例5：一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：由梯形面积公式，得S=31

(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

32

①

∴AD=231233h+b, ∴S=(h2b)h(hb)h

3233

∵CD=h22h,AB=CD.∴l=h×2+b cos3033

②

由①得b=S343S3Sh,代入②,∴l=hh3hh33h3h

l′=3SSSS=0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.

444h2333S243∴h=4时，l取最小值，此时b=S

33点评：应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值．

练习：

1、一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？

解：假设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，

由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x，故有

2150x4500×30＋×40，y′＝－2＋20，

x2x9000令y′＝0，得x

＝15，且y″＝3，f″(15)＞0，

xy

＝所以当x

＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，

故

当x

＝15时，y取得最小值，此时进货次数为150＝10（次）．

15即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．

2、有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？

解：设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，

则CD

＝x40．

y

＝500（50－x）＋700x1600

222

＝25000－500 x

＋700x1600，

12y′＝－500＋700 ·

(x

＋1600)2· 2 x

212＝－500＋700xx16002，

令y′＝0，解得x

＝506．

3506千米时，总费用最省．

3答：水厂距甲距离为50－四．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具.