1.1.1 命题教学设计(第一课时)

1.1.1

命题教学设计

学习目标: 1．理解什么是命题，会判断一个命题的真假．

2．分清命题的条件和结论，会判断命题的真假，

能将明确给出条件与结论的命题写成“若p，则

q”的形式．

重点难点：

本节重点：了解命题的定义，会判断命题的真假，

正确区分命题的条件与结论．

本节难点：判定一个句子是不是命题以及命题真

假的判断．

要点点拨：

1．命题及其概念

(1)判断一个语句是不是命题，首先应明确它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”两个条件，只有能判断真假的陈述句才是命题．一个命题要么是真的，要么是假的，不能既是真命题又是假命题，也不能模棱两可，无法判断其真假．

(2)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题．

2．命题的结构形式

(1)数学中的命题大多是：“若p，则q”的形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．而数学中的有些命题从形式上看，不是“若p，则q”的形式，但是将它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式，因此，在研究命题时，不要受其形式的影响．

(2)“若p，则q”形式的命题中，p和q本身也可为一个简单命题．

1(3)并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“3是有理数”，“5>3”．

3．命题真假的判断

(1)一个命题的真假与命题所在环境有关．对其进行判断时，要注意命题的前提条件，如“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”在平面几何中是真命题，而在立体几何中却是假命题．

2)关于“若p，则q”型的命题

许多命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q本身也可为一个简单命题，这种命题形式明确、简洁，是我们研究命题的主要形式之一．很多命题表面上不是“若p，则q”型的，但是，可以改写成“若p，则q”型，当一个命题改写成“若p则q”的形式之后，判断这种命题的真假的办法：

①若由“p”经过逻辑推理得出“q”，则可确定“若p，则q”是真；确定“若p，则q”为假，则只需举一个反例说明即可．

②从集合的观点看，我们建立集合A、B与命题中的p、q之间的一种联系：设集合A＝{x|p(x)成立}，B＝{x|q(x)成立}，就是说，A是能使条件p成立的全体对象x所构成的集合，B是能使条件q成立的全体对象x所构成的集合，此时，命题“若p，则q”为真，当且仅当A⊆B时满足．

预习检测: 1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以_____________的陈述句叫做命题．

2．判断为真的语句叫____________，判断为假的语句叫_____________．

3．命题常写成“_____________”的形式，其中命题中的p叫做命题的___________，q叫做命题的_____________．

4．下列语句不是命题的是(

) A．地球是太阳系的行星

B．等腰三角形的两底角相等

C．今天会下雪吗？

D．正方形的四个内角均为直角

5．已知下列语句：①一束美丽的花；②x>3；③2是一个偶数；④若x＝2，则x2－5x＋6＝0.其中是命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4

6．若下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题．

(1)面积相等的两个三角形全等；

(2)实数的平方是非负数．

典例剖析

题目类型一、命题概念的理解

[例1]

判断下列语句是否是命题，并说明理由．

(1)求证：3是无理数；

(2)x2＋4x＋4≥0；

(3)你是高一的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果．

[解析]

(1)祈使句，不是命题．

(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断真假，它是命题．

(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．

(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．

[点评]

判定一个语句是否为命题，主要把握以下两点：

(1)必须是陈述语句．祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．

(2)其结论可以判定真或假．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．另外，并非所有的陈述语句都是命题，凡是在陈述语句中含有比喻、形容等词的词义模糊不清的，都不是命题．

变式训练

判断下列语句是否为命题，并说明理由．

(1)若x<2，则x<1；

(2)x2＋2x－1＝0；

(3)存在实数x，使得不等式x2－3x＋1<0成立．

题目类型二、命题真假的判断

[例2]

判断下列命题的真假：

①＋＝；

②log2x2＝2log2x；

③若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实根；

π④直线x＋y＝0的倾斜角是4；

[解析]

①是真命题；

②是假命题．如x＝－1时，log2x2＝0，而2log2x＝2log2(－1)无意义；

③是真命题．若m>1，则Δ＝4－4m<0；

3π④是假命题．直线x＋y＝0的倾斜角是4；

⑤是真命题；

⑥是假命题．如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}时，1∈A，但1∉A∩B. [点评]

(1)真命题的判定方法

真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．

另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．

变式训练

给出下列几个命题：

(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；

(2)若a>b，则a2>b2；

(3)若x>－3，则x2＋x－6≤0；

(4)若a，b是无理数，则ab也是无理数．

其中的真命题有________个．

[解析]

(1)是真命题．

(2)设a＝1>b＝－2，a>b，但a2

(3)设x＝4，显然x>－3，但x2＋x－6＝14>0，假命题．

(4)设a＝(2)2，b＝2，则ab＝(2)2＝2是有理数，假命题. 题目类型三、命题结构分析

[例3]

指出下列命题的条件与结论．

(1)负数的平方是正数；

(2)正方形的四条边相等．

[分析]

由题目可获取以下主要信息：①给出了命题的一般简略形式．②找出命题的条件和结论．

解答本题的关键是正确改变命题的表述形式．

[解析]

(1)可表述为“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”条件为：“一个数是负数”；结论为：“这个数的平方是正数”．

(2)可表述为：“若一个四边形是正方形，则这个四边形的四条边相等”．

条件为：“一个四边形是正方形”；

结论为：“这个四边形的四条边相等”．

[点评]

一个命题总存在条件和结论两个部分，但是，有的时候条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，其中p为条件，q为结论．

变式训练

写出下列命题的条件与结论．

(1)质数是奇数；

(2)矩形是两条对角线相等的四边形．

[解析]

(1)可表述为：“若一个自然数是质数，则它是奇数”．

条件为：“一个自然数是质数”；

结论为：“这个自然数是奇数”．

(2)可表述为：“若一个四边形是矩形，则它的两条对角线相等．”

条件为：“若一个四边形是矩形”；

结论为：“这个四边形的两条对角线相等”. [例4]

将下面的命题写成“若p，则q”的形式．

当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．

[错解]

“若p，则q”的形式为：如果a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增加而增加．

[正解]

“若p，则q”的形式为：当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也增加．

达标训练

一、选择题

1．下列命题中，是真命题的是(

) A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集

B．{x∈N||x－1|<3}是无限集

C．空集是任何集合的真子集

D．x2－5x＝0的根是自然数

[解析]

对选项A，集合是空集，对选项B中的集合为{－1,0,1,2,3}，是有限集，对于C，空集不是它本身的真子集，对于D，x2－5x＝0的根为0和5，它们都是自然数，故选D. 2．下列语句为命题的是(

) A．对角线相等的四边形

B．a＝b

C．x≥2 D．x2－2x＋1<0 二、填空题

3．下列命题：

①方程x2－2x＝0的根是自然数；②0不是自然数；③{x∈N|0

4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________．