3.1.2 导数的概念教学实录

3.131------3.1.2变化率问题及导数的概念

【学习目标】1、理解平均变化率及导数的概念；2、会求给定函数在某个区间上的变化率。

3、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数。

重点、难点：导数的概念及简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的求法。

【课前导学】阅读《选修1-1》课本P72～76的内容后回答下列问题：

问题一：已知物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系：S（t）＝2t＋5t2，则：

（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度=

=

；

（2）物体从t1秒到t2秒这段时间内的平均速度=

=

。

1、平均变化率：一般地，对于一个函数y＝f（x），我们将式子△x＝

，△y＝

，则平均变化率可表示为

。

思考：观察函数f（x）的图象平均变化率f(x2)f(x1)称为f（x）从x1到x2的平均变化率。令x2x1f＝xf(x2)f(x1)

的几何意义是什么？

x2x1问题二：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝－4.9t2＋6.5t＋10。

（1）计算运动员在t1秒到t2秒这段时间里的平均速度=

。

（2）计算运动员在0≤t≤65这段时间里的平均速度为

，思考：运动员在这49段时间里是静止的吗？

（3）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

2、瞬时速度：物体在某一时刻的速度。

问题三：跳水运动员在t＝2秒时的瞬时速度是多少呢？先来观察一下2秒附近的情况。

t0时，在2t,2这段时间内

t0时，在2,2t这段时间内

h2h2t4.9t213.1tv

22tt4.9t13.1当t0.01时，v13.051；

当t0.001时，v13.095 1；

h2th24.9t213.1tv

2t2t4.9t13.1当t0.01时，v13.149；

当t0.001时，v13.104 9；

当t0.000 1时，v13.099 51；

当t0.000 01时，v13.099 951；

当t0.000 001时，v13.099 995 1；

……

当t0.000 1时，v13.100 49；

当t0.000 01时，v13.100 049；

当t0.000 001时，v13.100 004 9；

……

当t

0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。为了方便，我们用

来表示。

h(2t)h(2)13.1t0tlim1

3、导数定义：函数f(x)在xx0处瞬时变化率是limfx0xfx0ylim，我们称它为函x0xx0x0数yfx在xx0处的导数,记作fx0　或　yxx即【预习自测】

f'(x0)=

=

。1、已知质点运动规律为st3，则时间在（3，3+t）中相应的平均速度为 。 2、已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝2t＋5 t2，则物体第2秒的瞬时速度为

【典例探究】

例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑料等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－5x＋8（0≤x≤8），计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。

变式：计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率。

例2、已知函数f（x）＝x2－3x. （1）求f（x）在x＝x0处的导数；（2）求f（x）在x＝1处的导数；（3）求f（x）在x＝3处的导数。

【总结与提升】

【反馈检测】

1、

已知函数fxx,则f(x)在区间[1 , 3]的平均变化率为

。

222、函数fx2x4x在x3点处的导数是

2

. 3、设f(x)ax4，若A. 2

B . －2 f'(1)2，则a的值（ ）

C . 3

D. －3

4、已知y=x2+3x，求y︱x=2.

2