3、解决问题的策略练习国家获奖教案

解决问题的策略练习课

——鸡兔同笼

【教学内容】苏教版课程标准实验教科书六年级下册第三单元解决问题的策略29、32页内容。

【教材分析】

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，出自于1500多年前的《孙子算经》，也是苏教版教科书六年级下册第29页和32页“你知道吗”栏目内容。我们的研究课题“数学教材中‘你知道吗？’栏目资源的开发与利用的研究”，目的是要充分挖掘“你知道吗”栏目的教学资源，使之与课堂教学有机整合，凸显其教学价值。经典的古代数学名题是我们的研究方向之一。这道“鸡兔同笼”在培养学生逻辑推理能力的同时，使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时，要展示学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。同时这节课也渗透了模型思想、假设思想和一些哲学思想。

【学情分析】

（1）“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。

（2）列方程解答此类问题数量关系直观易懂，要加以提倡。

（3）“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。

【教学目标】

1．知识与技能：经历和体验用各种巧妙方法解决实际问题的过程，进一步体会数学的乐趣。

2．过程与方法：经历探究与解决问题的过程，体验分析解决问题的方法。

3．情感态度与价值观：了解我国古代数学的光辉成就，增强民族自豪感；提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的兴趣。

【教学重点】：理解并掌握用假设法和列方程法解决“鸡兔同笼”问题。

【教学难点】：理解用假设法的算理并能运用不同的方法解决实际问题。

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【教学准备】多媒体课件

【教学过程】

一、历史激趣，导入新知

师：听说我们班的同学非常喜欢读书，今天老师给同学们带来一部1500多年前的数学名著《孙子算经》，里面记载着许多有趣的数学题，大家想不想了解？其中有这样一道题，请看：（课件出示以下情境图）

师:谁来读读题目?生读题。

师:读通了，谁能模仿古人的神态、语气读一遍? (生摇头晃脑、拖长声音读题) 师:像模像样的，真不错。谁来说说这道题的意思? 生说题意。

师:理解得挺准确，你是古人的知音。

(课件出示“鸡兔同笼”问题的译文) 出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只？请大家齐读一遍这题。

这道题出自我们数学书上的“你知道吗”栏目。（点击课件）

是我们今天要研究的我国古代趣题“鸡兔同笼”。（板书课题）

【设计意图】结合课件谈话引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，激发了学生的学习热情。

二、合作交流、探究新知。

1.师：探索这个问题前，先回想一下，我们以前学过的解决问题的策略有哪

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些？（列表、画图、列方程、假设……）

为了便于研究，我们把数据改小，先从简单的问题入手研究。（课件）

出示鸡兔同笼，有8个头，26只脚，鸡、兔各有几只？

这道题告诉我们什么数学信息？

（隐藏信息）鸡脚和兔脚各有几只？

方法一：列表法

（课件）

鸡的只数

兔的只数

总脚数

你能用一一列举的方法填表找出答案吗？请同学们拿出表格，填一填。

哪位同学来介绍一下你的填法？

师：什么时候可以不用继续往下列？还有别的列法吗？

请观察脚数的变化，你有什么发现？（板书：相差2）

师：有没有更好的方法？

生: 汇报。

师：为什么第二次调整成鸡3只，兔5只？

师:真是个巧妙的想法。

这种方法虽然也是列表，但是和一一列举不同，是调整法。

方法二：假设法

师：如果鸡和兔的总数有几百只或者更多时，运用列表法合适吗？（不合适，太麻烦了）

所以我们要发现规律，找出方法。（点击课件）

请同学们从第二种策略画图法入手，用圆圈代表动物的头，竖线代表动物脚，（课件）一边画图，一边在心里思考，整理自己的想法。

学生汇报，师相机引导。（边点击课件）

师小结：太棒了，你们发现了数学中一种重要的思想，就是假设思想。我们一起来研究它。（出示以下情境图）

（1）鸡和兔被关在一个笼子里时，“兔子小姐”觉得鸡用2只脚走路很有意思，想学学鸡用2只脚走路，你觉得她怎么做才能学鸡一样用两只脚走路？（把

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2只前脚举起来。）（其他学生也做出形象的动作，活跃课堂气氛。）

师：于是兔子小姐发出号召：姐妹们，让我们行动起来吧！于是全体兔子都变成这样的了！（点击情境图）

师：这样，我们可以把笼子里的动物都假设成是谁？（鸡） 师：这时笼子里一共有几只脚呢？（点击课件）

师：但实际是几只脚呢？（26只）与实际相比，脚的只数发生了什么变化？（课件）为什么？（请两三位学生尝试解释，对解释完整的同学给予肯定和表扬。

（引导发现：脚的只数比实际少了10只，因为原来每只兔子有4只脚，现在每只兔子只算了2只脚，每只兔子比原来少算了2只脚，总共就少了10只脚。）

师：你们实在太聪明了，也就是说，少了的10只脚是谁的？（兔子的）（点击课件）一只兔添几只脚？（点击课件）需要给几只兔子添脚？（点击：兔有 10÷2=5只）所以兔子是5只。

师：如果知道少了20只脚，你觉得会有几只兔子在学鸡走路呢？如果少了30只脚呢？鸡有多少只？（点击课件）

（2）还可以怎么假设？（课件）

师:触类旁通，你的反应真快。

师：“公鸡先生”看到“兔子小姐”那么好学，自己也不甘落后，也想找办法学学兔子走路，你有什么好办法介绍给他吗？（把两只翅膀放下来做脚）（学生做出形象的动作。）

师：于是公鸡先生也发出号召：兄弟们，让我们一起把双手趴下。（课件）

师：现在请同学们想一想，如果把鸡看作是兔子，该怎么想呢？（列式算一算）

（指名学生汇报结果，教师在黑板上板书计算方法）

师:听懂了吗?有没有疑问? 生:(无人提问) 师:(很有自信)那老师先来提问。请问“8×4”表示什么意思? “32-26”又是表示什么? 生:8×4表示假设8只全是兔，有三十二只脚。实际只有26只脚，32-26表示多了6只脚。（点击课件出多算鸡的脚，点击4次）

师:有道理，有谁要提问吗?

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生:请问这个“2”表示什么意思啊?（点击 2次）

怎样算出鸡的只数？6÷2=3只

怎么想的？

生:多了6只脚，就用鸡来换兔，一只鸡换走一只兔子， 2只脚，一共要减少6只脚，需要用3只鸡换3只兔子。

师:精彩的回答。

（课件）（点击4次）

兔的只数就是8-3=5（只）

（3）

你们能给这两种解法取个名字吗? 生:假设法

师：行，假设法是一种常见的解题方法。(板书:假设法)，它里面蕴含了一种重要的数学思想：假设。（重点框出）

你认为我们在采用假设法时关键要注意什么呢？

引导学生注意：当我们假设所有的都是鸡时，根据比原来少了的脚的只数求出来的是兔的只数，假设所有的都是兔时，根据多出的脚的只数求出来的是鸡的只数。（说得真好，鼓掌为他表示祝贺）（点击课件，请一名学生读总结精华）最后用头数减去开始求出的只数就是另一种动物的只数。

师：除了用上面两种方法解答这个问题，还有其他不同的方法吗？

方法三：解方程

还可以怎么解题？（能口头列出方程吗？）

解：设兔有X只，那么鸡有（8-X）只。根据鸡兔共有26只脚，那么有： 4X+2（8-X）=26 师：你是根据什么来列方程的呢？

（引导学生说出：鸡脚的总数+兔脚的总数=它们的脚的总数。）

师：能设鸡有X只吗？怎么列方程？课件出示：

解：设鸡有X只，那么兔有（8-X）只。

2X+4(8-X)=26

哪道方程解起来比较简便？

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师小结：对比两种情况，当采用列方程来解决时，应设脚的只数多的为X比较简便。

2．小结交流，归纳方法。

师：比较四种不同的方法，你比较喜欢哪一种方法?说说你喜欢的理由。

生:我喜欢假设法，它一步一步推理，让我很有成就感。

生:我喜欢列方程解答，因为它的数量关系式很明显。

生:我不喜欢列方程解，因为有的方程很难解出来。我觉得画图法很直观，很生动。

生:如果数据很大，画图法就不容易了。

生:我觉得要看题目来决定，先弄清题目意思，再来选择合适的方法。

师:具体问题具体分析，这是哲学思想。每种方法都有它的优点和局限性，我们要根据需要灵活运用。

你认为哪种方法一般都能适用？

（引导学生得出假设法和列方程解的方法一般情况都适用。）

三、解决问题，领略方法

三、应用方法，解决问题

1.师：现在你有信心解决《孙子算经》里的问题吗？课件出示：

现在你会解《孙子算经》的这道题了吗

过程和要求：

（1）自己独立完成后，在小组内交流，教师巡视。

（2）生介绍自己的解题思路。

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（3）集体讲评。（表扬说得好的同学）

师：你们想知道古人是怎么解决这道题的吗？）（指名读）

术曰：上置头，下置足。半其足，以头除足，以足除头，即得。

（结合图片和算式介绍“抬腿法”。）

（4）我们给这个方法起个名字吧，“抬腿法”。

师：看了这段资料，你有什么想法？（引导学生对祖先赞美，进行爱国主义教育）

（其实这一算术方法中蕴含着一种重要的数学思想:即集合对应的思想.在命令下达之后，鸡头和鸡足是1对1的，而兔头和兔足是1对2的，所以足数-头数=兔数.）

（5）现代也有一个趣味的“抬腿法”

（放录音）

假设鸡和兔都训练有素，吹一声哨，抬起一只脚。94-35=59 再吹哨，又抬起一只脚，59-35=24 这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。

所以，兔子有24÷2=12只，鸡有35-12=23只。

师小结：你们能在这么短的时间内学会了用几种不同的方法解决同一个问题，你们也很了不起！

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【设计意图】运用已学技能去解决古代“鸡兔同笼”的问题，同时介绍古人创造的“抬腿法”，教学时渗透爱国主义思想教育，激发学生努力学习数学热情，使他们感到学数学不是枯燥乏味的，而是风趣幽默的一门学科。

四、推广应用，形成技能

1、介绍日本的龟鹤问题

在生活中我们很少看到有人把鸡和兔放在一个笼子里养吧，就是放在一起养，也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究它呢，一千多年过去了，还作为宝物似的流传到今?“鸡兔同笼”有什么独特的魅力吗?”(显示:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?) 师:让我们来看一道在日本流传的题目。

“龟鹤同游，共有40个头，112只脚，求龟、鹤各有多少只?”这就是距今一百五十多年前日本算术书的《算法点窜指南录》中有名的“龟鹤算”。

这里的龟、鹤和我们说的“鸡、兔”有联系吗? 你能找到答案吗？

不光日本，美国的小学教科书里也有一个这样的问题（出示，读一读就行）：一位自然摄影师拍了一些音知鸟和水獭的照片，她拍了35个动物，有94条腿，她各拍了几只音知鸟和水獭？

老师还看到这样一首民谣。

出示:一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一百九。（放录音）

师:我们研究了鸡兔同笼、龟鹤同游，也来给这首儿歌取个名字?

生:人狗同行。

师:看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说?

生:我觉得它和鸡兔同笼的问题仍然是一样的。猎人相当于鸡，狗相当于兔。

师:他的这个理解可以吗?

生:可以。

你们能解出这题的谜底吗？学生独立完成，汇报，交流

师:虽然把猎人看作鸡有些不雅，但是从研究的角度大家确实是找到了他们数量上的联系。显示:猎人——鸡(两只脚) 狗——兔(四只脚)

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师:回想一下，从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”，再到“人狗同行”，你发现了什么呢? (再次显示:“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?)

生:鸡兔同笼是多方面的。

生:“鸡兔同笼”可以表示好多种和“鸡兔同笼”相同的情况。

师:是啊，鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题(老师在课题上加上双引号)，它就好像是一个模型!(板书:模型)我们可以找到很多它的影子。想想看，鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题?

生:鸭猫问题。 (大家都笑起来)

生:猪鹅问题。

生:马鹰问题。

师:鸡、鸭行不行?

生:不行的，它们都是两条腿，数量没有区别。

2.应用。

（1）师:这个信封里放的是5元和2元的钞票，共8张，34元，你能算出信封里5元和2元的钞票各有多少张吗?

(学生尝试解答后交流用假设法和古人算法的情况，发现古人算法不好用了。教师引导思考揭示:古人算法只能用于2腿、4腿的“鸡兔问题”。回应前面提示的:古人的方法也是有局限的)

师:这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗?

生:其实这也是鸡兔同笼问题，这里的2元的钞票就相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是五只脚的“怪兔”!

（2）师:让我们带上这样的眼光再到身边去看一看吧。

停车场里一共有100辆普通摩托车和三轮摩托车，一共回收废旧轮胎215条。停车场里普通摩托车和三轮摩托车各多少辆？

【设计意图】拓宽学生的视野，使学生体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，感受数学学习的价值，也让学生体会到数学就在我们身边。引导学生观察比较，提炼出这类问题的结构特征，把学习引向深入。此外，不同层次的问题体现了不同学生的发展。

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五、全课小结、拓展延伸（3分钟）

1. 师:经过一节课的研究，现在再来回答这个问题(第三次显示“鸡兔同笼”有什么独特的魅力?)，你有什么想说的吗?

生1:我觉得鸡兔同笼问题的解法可以应用到很多问题中去。

生2:鸡兔同笼只是一种问题的模型，好多生活中的问题都可以看成是变化的鸡兔同笼。

师:(对着板书)从一个具体的数学问题出发，研究方法，并上升到一种模型，最后进行广泛的应用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。

2.《孙子算经》中的其他类似“鸡兔同笼”的问题。

今有兽六首四足，禽四首二足。上有七十六首，下有四十六足。问禽、兽各几何？

答曰：八兽，七禽。

术曰：倍足以减首，余半之，即兽；以四乘兽，减足，余半之，即禽

六、板书设计

鸡兔同笼 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有5个头，从下面数，有16只脚。鸡和兔各有几只？

列表法 5×2=10（只）或 5×4=20（只） 解：设兔有X只，那么鸡有（5-X）只。

假设法

16-10=6（只） 20-16=4（只） 4X+2（5-X）=16 解方程

6÷2=3（只） 4÷2=2（只） 2X+10=16 抬腿法 5-3=2（只） 5-2=3（只） 2X+10-10=16-10 答：鸡有2只，兔有3只。 2X=6 2X÷2=6÷2 X=3 5-3=2（只）

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