3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学目标

课题：空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量运算的坐标表示

一、学习目标

1、掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

2、掌握空间向量加减法和数乘的坐标表示；掌握数量积的坐标表示；能应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

二、教学重点

空间向量基本定理、向量的坐标运算；空间向量加减法和数乘的坐标表示。

三、教学难点

理解空间向量基本定理；应用向量的坐标表示求向量长度及夹角。

四、课前自学

1.

空间向量的正交分解:设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p在i,j,k上的分向量. 2.空间向量基本定理：____________________________________________________________ 3. 基底，基向量:如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa +yb+ zc, x、y、z∈R}.这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底. 4. 单位正交基底：设e1,e2,e3为______________________的单位向量，称它们为___________.

5.

空间向量的坐标表示：在空间选定一个___________{e1,e2,e3}，以e1,e2,e3的公共起点O为___________，分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、z轴的___________建立空间直角坐标系O—xyz. 那么对于空间任意一个向量p,一定可以把它平行移动，使它的起点________，得到一个向量________. 由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底e1,e2,e3下)的坐标，记作___________.此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中的坐标___________. 6.空间向量的坐标表示:向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

则AB＝__________________________，AB＝_________________________。即：向量的坐标等于向量终点坐标减去起点坐标。AB=________________________________=特别地，OA___________________

dAB，这就是空间两点间的距离公式。

7. 向量的直角坐标运算：设

a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴ab＝______________________；

⑵ab＝______________________；

⑶λa＝______________________；

⑷ab______________________ 8. 两个向量共线或垂直的判定：

若b0则a//b_______________________________ a⊥b_________________________________________ 9.向量的模长及夹角的坐标公式

设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3),则|a|=aa =___________;cos〈a, b〉=ab =___________. |a||b|思考：当0＜cos〈a, b〉＜1时，夹角〈a, b〉的范围____________

当-1＜cos〈a, b〉＜0时，夹角〈a, b〉的范围____________

当cos〈a, b〉=0时，夹角〈a, b〉等于____________ 五、预习检测

1、写出单位向量i,j,k的坐标：i= _____________

j= ____________

k= _____________ 2、已知A(1,2,7),B(3,10,9)，则线段AB的中点坐标为_____________ AB=_____________ 3、已知i,j,k是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且AB=-i+j-k,则B点的坐标为(

) A.(-1，1，-1) B.(-i,j,-k)

C.(1,-1,-1)

D.不确定

4、在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A的坐标为(-1，2，1)，点B的坐标为(1，3，4)，则(

) A.AB =(-1，2，1 ) B.AB=(1，3，4) C.AB=(2，1，3) D.AB=(-2，-1，-3) 5、已知a=（2，-3，5），b=（-3，1，-4），则ab的值为______________.

6、已知A(3，3，3),B(6，6，6)，O为原点，则OA与BO的夹角是(

)

B.π

C. 3

2

D.2π

7、已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，则|a-b+2c|等于(

) A.310 六、例题解析

例1、设a(1,5,1),b(2,3,5),若kab∥a3b，求k

210

10

D.5

例2、已知a(3,0,1),b(k,2,1),且a,b

例3、

如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=3，求实数k的值

41CD，应用空间向量的运算办法解决下列问题：

4（1）求证：EF⊥B1C；

（2）求EF与C1G所成角的余弦；

（3）若A为C1G的中点，求FH的长.

七、检测巩固

1.与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标为(

) A.(1,3,2)

B.(-1,-3,2) C.(-1,3,-2)

D.(1,-3,-2) 2.向量a=(-1,2,3),则向量a的模是(

) A.14

B.14

C.11

D.11

3.已知A(3,0,1),B(0,2,0),C(2,4,2)，则三角形A B C是（

）

A、等边三角形

B、

等腰三角形

C、

直角三角形

D、以上都不对

4.已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，则ba的最小值是（

）

A、

5

B、

5115535

C、

D、

5555.已知A点的坐标是(-1，-2，6)，B点的坐标是(1，2，-6)，O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角是(

)

A.0

B.2

C.π

D.32 6.在三棱锥OABC中，G是ABC的重心，选取OA,OB,OC为基底，试用基底表示OG＝

7.已知关于x的方程x2t2xt23t50有两个实根，catb，且a1,1,3,b1,0,2，

当t＝

时，c的模取得最大值. 8.已知a=（2，-3，1），b=（2，0，3），c=（0，0，2）求

（1）a(bc) （2）a6b8c

9.已知A=(3,5,-7),B=（-2，4，3），求AB,BA,线段AB的中点坐标及线段AB的长

10.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，

（1）求A1B和B1C的夹角 （2）求证: A1BAC1

D1

C1

A1

B1

D C

A B

八、课后小结

1.基本知识：

（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；

（2）两个向量的夹角公式。

（3）空间向量运算的坐标表示

2.思想方法：

用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。