探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学实录与评析

《椭圆及其标准方程》教学设计

泾源高级中学 刘敏轩

一、教学目标：

1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力．

3．情感目标：

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 二、重点、难点：

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想．

难点：椭圆标准方程的推导与化简．

三．教学方法：

探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

四．教具准备：

多媒体课件和自制教具：画板、图钉、细绳．

五、教学过程：

（一）创设情境，认识椭圆．

材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. 材料2：太阳系行星运动轨道图．

引入课题：椭圆及其标准方程．

（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过太阳系行星运动轨道图，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣.）

（二）动手实验，亲身体会．

1．教师复习，引出研究思路．

教师将一圆形朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以类比学习圆一样来学习椭圆．

复习学习圆的思路和方法：（1）画圆，（2）由画法得出圆的定义，（3）由定义得到几何特征，（4）解析法推导圆的标准方程：①建立坐标系，②设点，③列式，④化简，⑤得出方程。

思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．）

2．学生分组试验．

(1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点F1、F2；

(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？

（教师巡视指导，展示学生成果）

3.分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？

(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？

（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）

（三）总结归纳，形成概念．

定义：平面内，到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆．

（在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.）

问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？MF1MF22a(2a2c). （设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概

念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.）

（四）合理建系，推导方程．

1.求椭圆方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简；

2.如何选取坐标系？

【学情预设】学生可能会建系如下几种情况：

方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点；

方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点；

方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点；

方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点；

教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？

（设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．）

3.设点：选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F22c(c0)，点M(x,y)为椭圆上任意一点，

则

PMMF1MF22a（称此式为几何条件），

4．列式：

由PMMF1MF22a，

得xc2y2xc2y22a（实现集合条件代数化），

（想一想：下面怎样化简？）

5.化简：

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 (a2c2)x2a2y2a2(a2c2)．

（2）b的引入．

由椭圆的定义可知，2a2c, ∴a2c20．

让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形F1b0yMacF2x图2

直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设b2a2c2，于是得x2y2bxayab，

两边同时除以ab，得到方程：221ab0（称为椭圆ab22222222的标准方程）．

（设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．）

6．建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程． 要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？

方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x，y交换了位置），直接得到方程．

方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线yx对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线yx翻折即可转化成图3；

图1 图3

（五）归纳概括，掌握特征．

标准方程

+=1

+=1

图形

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

在x轴上

在y轴上

（1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；

（2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c的关系：b2a2c2(ab0)；

（3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定. （六）尝试应用，范例教学．

练习：下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a、b，写出焦点坐标．

x2y2(1)11616

(3)9x225y22250x2y2(2)12516

注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然．

（设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.）

例1.求满足下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a=4,b=1，焦点在X轴上; （2）a=4,c=15

，焦点在Y轴上; y2x21的焦点坐标__________;例2 (1)椭圆2516x2y2

(2)椭圆1的焦距为4，则m_______.9m

例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

35两个焦点的坐标分别是0，2、0，2，并且经过点P，．

22（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结．）

解题思路1：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程y2x2351，再将椭圆上点的坐标ab0，代入此方程，并结合a、b、c间a2b222y2x21．

的关系求出a、b的值，从而得到椭圆的标准方程为10622(设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.) 35解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点，到两个焦点0，2、0，2的22距离之和为常数2a）求出a值，再结合已知条件和a、b、c间的关系求出b2的值，进而写出标准方程．

（设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.）

（七）课堂练习，巩固提升

（八）回顾反思，归纳提炼. 1.椭圆定义；2.椭圆标准方程；3.解题思想方法．

六、课后作业，巩固提高．

七、板书设计：

§8.1椭圆及其标准方程

一．椭圆的定义 三.例题

MF1MF22a(2a2c)

四.小结

二．椭圆的标准方程 五.作业

x2y2焦点在x轴上：221ab0

aby2x2焦点在y轴上；221ab0

ab