小结优质课教案设计

第二讲

椭圆、双曲线、抛物线

高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．

一、温（读）

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称

定义

椭圆

|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|) 双曲线

||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|) 抛物线

|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M

标准方程

x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2x2y2－＝1(a>0，b>0) a2b2y2＝2px(p>0) 图形

范围

顶点

对称性

焦点

轴

几何性质

离心率

|x|≤a， |y|≤b[

(±a,0)，(0，±b) |x|≥a[

(±a,0)

x≥0 (0,0)

关于x轴，y轴和原点对称

(±c,0) 长轴长2a，短轴长2b

实轴长2a，虚轴长2b

关于x轴对称

(，0) 2

pce＝＝

ab21－2ace＝＝

ab21＋2ae＝1 (0

渐近线

(e>1) px＝－

2by＝±x

a

1

二、究（化）

考点一

圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2y22例1 (1)设椭圆＋＝1和双曲线－x＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的2m3一个交点，则|PF1|·|PF2|的值等于________．

(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝________. 22答案

(1)3 (2)

3

如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF，

又|AF|＝2|BF|，

∴|BC||BB′|1＝＝，

|AC||AA′|22即B是AC的中点．

2xB＝xA－2，∴2yB＝yAyA＝8xA，2yB＝8xB，2

与

联立可得A(4,42)，B(1,22)．

42－2222∴kAB＝＝. 4－13(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．

(2)注意数形结合，提倡画出合理草图．

x2y2322(1)(2012·山东)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为.双曲线x－y＝1的渐ab2近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为

B.D.

(

) A.＋＝1 82C.

x2y2x2＋＝1 126＋＝1 2052 x2x2y2y2＋＝1 164y2

(2)如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，

交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为

(

) A．y＝9x

C．y＝3x

222

B．y＝6x

D．y＝3x

22答案

(1)D (2)C 3ca－b3解析

(1)∵椭圆的离心率为，∴＝＝，

2aa2∴a＝2b.∴椭圆方程为x＋4y＝4b. ∵双曲线x－y＝1的渐近线方程为x±y＝0，

∴渐近线x±y＝0与椭圆x＋4y＝4b在第一象限的交点为∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为∴a＝4b＝20. ∴椭圆C的方程为＋＝1. 205(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定

义知，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，

∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，

∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.

连接A1F，则△AA1F为等边三角形，

过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，

1132设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即p＝，∴抛物线方程为y＝3x，222故选C. 考点二

圆锥曲线的几何性质

2222222222222525b，b，

552525b×b＝4，∴b2＝5，55x2y2x2y2例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相ab4交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(

) 53A.

55B.

74C.

56D.

7x2y2(2)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支ab

3

上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．

5答案

(1)B (2)

3解析

(1)在△ABF中，由余弦定理得

|AF|＝|AB|＋|BF|－2|AB|·|BF|cos∠ABF，

∴|AF|＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，

从而|AB|＝|AF|＋|BF|，则AF⊥BF. 1∴c＝|OF|＝|AB|＝5，

2利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，

则|BF′|＝|AF|＝6，

∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7. 2222222c5因此椭圆的离心率e＝＝. a7(2)设∠F1PF2＝θ，

|PF1|－|PF2|＝2a，由|PF1|＝4|PF2|

得2|PF|＝a，32228|PF1|＝a，3

17a－9c1792由余弦定理得cos θ＝＝－e. 28a881792∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤－e<1，

885又e>1，∴1

(1)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2 FD，则C的离心率为________．

→→x2y2a222(2)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x＋y＝的切线，切点为E，延长ab4FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．

答案

(1)310

(2)

32解析

(1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，

4

F(c,0)，D(xD，yD)，

则BF＝(c，－b)，

→→FD＝(xD－c，yD)，

∵BF＝2FD，

xD－cc＝∴－b＝2yD，→→，

2∴by＝－.2D3cxD＝，

2

又∵点D在椭圆C上，

∴3c2－b222a2＋b22132＝1，即e＝.∴e＝. 33(2)设c＝a＋b，双曲线的右焦点为F′.

则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c. ∵E为PF的中点，O为FF′的中点，

∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|. ∵OE⊥PF，|OE|＝，

2∴PF⊥PF′，|PF′|＝a，

∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a. ∵|PF|＋|PF′|＝|FF′|，

∴9a＋a＝4c，∴＝∴双曲线的离心率为222222aca10. 210. 2考点三

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y22例3 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，点F为椭

ab2圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭

→→圆的上顶点，且满足MF·FB＝2－1. (1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为△PQM的垂心？若存

5

在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解

(1)根据题意得，F(c,0)(c>0)，A(－a,0)，B(a,0)，M(0，b)，

∴→MF＝(c，－b)，→FB＝(a－c,0)，

∴→MF·→FB＝ac－c2＝2－1. 又e＝c＝2a2，∴a＝2c，∴2c2－c2＝2－1，

∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，

∴椭圆C的方程为x2＋y22＝1. (2)假设存在满足条件的直线l. ∵kMF＝－1，且MF⊥l，∴kl＝1. 设直线l的方程为y＝x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

y＝x＋m，由x222＋y＝1

消去y得3x2＋4mx＋2m2－2＝0，

则有Δ＝16m2－12(2m2－2)>0，即m2<3，

2又x＋x4m2m－212＝－3，x1x2＝3，

∴y21y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m

222＝2m－24m2m－23－3＋m＝3. 又F为△MPQ的垂心，连接PF，则PF⊥MQ，

∴→PF·→MQ＝0，

又→PF＝(1－x)，→1，－y1MQ＝(x2，y2－1)，

∴→PF·→MQ＝x2＋y1－x1x2－y1y2

＝x2＋x1＋m－x1x2－y1y2

22＝－42m－2m－23m＋m－3－3

＝－m2－m43＋3＝－13(3m2＋m－4) ＝－13(3m＋4)(m－1)＝0，

∴m＝－43或m＝1(舍去)，

6

4经检验m＝－符合条件，

3∴存在满足条件的直线l，其方程为3x－3y－4＝0. (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

(2013·北京)已知A，B，C是椭圆W：＋y＝1上的三个点，O是坐标原点．

4(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

解

(1)由椭圆W：＋y＝1，知B(2,0) 4∴线段OB的垂直平分线x＝1. 在菱形OABC中，AC⊥OB，

32将x＝1代入＋y＝1，得y＝±. 42∴|AC|＝|y2－y1|＝3. 11因此菱形的面积S＝|OB|·|AC|＝×2×3＝3. 22(2)假设四边形OABC为菱形．

因点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．

x＋4y＝4，由y＝kx＋m22x22x22x2

222消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则

x1＋x224kmy1＋y2x1＋x2m＝－，＝k·＋m＝22. 1＋4k221＋4k∴线段AC中点M－4km2，m2，

1＋4k1＋4k1∵M为AC和OB交点，∴kOB＝－. 4k11又k·－＝－≠－1，

44k∴AC与OB不垂直．

7

故OABC不是菱形，这与假设矛盾．

综上，四边形OABC不是菱形．

1．

对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．

2．

椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax＋By＝1，其中A、B是不等的常数，A>B>0时，表示焦点在y轴上的椭圆；B>A>0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB<0时表示双曲线．

3．

求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算e＝；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求. 4．

通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通2b径长为，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p，过抛物线焦点的弦中通222cacaa径最短．

椭圆上点到焦点的最长距离为a＋c，最短距离为a－c. 5．

抛物线焦点弦性质：

已知AB是抛物线y＝2px(p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)．

(1)y1y2＝－p，x1x2＝；

42p(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(α为弦AB的倾斜角)；

sinα(3)S△AOB＝；

2sin α112(4)＋为定值；

|FA||FB|p(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 22p2p2

x2y21．

已知点F是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点Fab且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是

A．(1，＋∞)

(

) B．(1,2)

8

C．(1,1＋2)

答案

B

D．(2,1＋2) 解析

由AB⊥x轴，可知△ABE为等腰三角形，又△ABE是锐角三角形，所以∠AEB为b22222锐角，即∠AEF<45°，于是|AF|<|EF|，1，从而1

设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax＋bx－c＝0的两ab2个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)

(

) 22

A．必在圆x＋y＝2内

C．必在圆x＋y＝2外

答案

A 22B．必在圆x＋y＝2上

D．以上三种情形都有可能

22解析

∵x1＋x2＝－，x1x2＝－. bacab22cb2＋2ac∴x＋x＝(x1＋x2)－2x1x2＝2＋＝. aaa221222c11∵e＝＝，∴c＝a，

a2212322222∴b＝a－c＝a－a＝a. 24321a＋2a×a42722∴x1＋x2＝＝<2. 2a4∴P(x1，x2)在圆x＋y＝2内．

22

(推荐时间：70分钟) 一、选择题

1．

(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为

(

) 222

A．y＝4x或y＝8x C．y＝4x或y＝16x

22

B．y＝2x或y＝8x

D．y＝2x或y＝16x

9 2222

答案

C 解析

由题意知：F，0，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝522p5yM52yM225－，设以MF为直径的圆的圆心为，，所以圆的方程为x－＋y－＝，又222224因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p5－，解得p＝2或2pppp＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C. 2．

与椭圆＋＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是

1216A．y－＝1

33x3yC.－＝1

48答案

A 解析

椭圆＋＝1的离心率为1216222x2y2

(

) x2

B.－x＝1 33y3xD.－＝1 4822y22x2y216－121＝，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的2162222焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c＝2，＝2得a＝1，b＝c－a＝3，故所求双曲a线方程是y－＝1. 33． (2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于 A．2∶5 B．1∶2 C．1∶5 D．1∶3

答案

C 解析

由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH. 即|FM|∶|MN|＝|MH|∶|MN| ＝|FO|∶|AF|＝1∶5.

(

) 22x2x2y22224．

过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点F，作圆x＋y＝a的切线FM交y轴于点P，切ab→→→圆于点M,2OM＝OF＋OP，则双曲线的离心率是

A.2

答案

A 解析

由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OF＝2OM，即c＝2a，所以双曲线的离心率为2. B.3

C．2

D.5

(

)

10

12x25．

(2013·山东)抛物线C1：y＝x(p>0)的焦点与双曲线C2：－y＝1的右焦点的连线2p3交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于(

) A.3

16B.3

823C.

3D.43

32答案

D 解析

抛物线C1的标准方程为x＝2py，其焦点F为0，，双曲线C2的右焦点F′为2(2,0)，渐近线方程为y＝±3x. 32p1333p由y′＝x＝得x＝p，故Mp，. p336343由F、F′、M三点共线得p＝. 3x2y2→→6．

椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且PF1·PFab2的最大值的取值范围是[c3c]，其中c＝a－b，则椭圆M的离心率e的取值范围是

(

) 2,22211A．[，] 42C．(2，1) 2

12B．[，] 221D．[，1) 2

答案

B 解析

设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，

→→则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，

→PF1·PF2＝x2＋y2－c2. 又x＋y可看作P(x，y)到原点的距离的平方，

→→2222所以(x＋y)max＝a，所以(PF2·PF2)max＝b，

12122222所以c≤b＝a－c≤3c，即≤e≤，

4212所以≤e≤.故选B. 2222→二、填空题

x2y27．

(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－2＝1的离心率为5，则mmm＋4的值为________．

11

答案

2 解析

建立关于m的方程求解．

∵c＝m＋m＋4，

22c2m＋m2＋4∴e＝2＝＝5，

am2∴m－4m＋4＝0，∴m＝2. 2x2y28．

(2013·福建)椭圆Г：2＋2＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直ab线y＝3(x＋c)与椭圆Г的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．

答案

3－1 解析

由直线方程为y＝3(x＋c)，

知∠MF1F2＝60°，

又∠MF1F2＝2∠MF2F1，

所以∠MF2F1＝30°，

MF1⊥MF2，

所以|MF1|＝c，|MF2|＝3c

所以|MF1|＋|MF2|＝c＋3c＝2a. 即e＝＝3－1. 9．

(2013·辽宁)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等916于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

答案

44 解析

由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，

∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，

且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，

由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6. ∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，

因此△PQF的周长为

|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44. 10．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)＋y＝1和圆(x－3)＋y＝42516上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

答案

7

12 cax2y2x2y22222

解析

由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 三、解答题

x2y211．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)右焦点的直ab1线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为. 2(1)求M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

解

(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x2y2112＋2＝1 abx2y2222＋2＝1 ab①－②，得因为

＋

①

②

x1－x2a2x1＋x2y1－y2b2y1＋y2＝0. y1－y2＝－1，设P(x0，y0)，

x1－x21因为P为AB的中点，且OP的斜率为，

211所以y0＝x0，即y1＋y2＝(x1＋x2)．

22所以可以解得a＝2b，即a＝2(a－c)，即a＝2c，

又因为c＝3，所以a＝6，

所以M的方程为＋＝1. 63(2)因为CD⊥AB，直线AB方程为x＋y－3＝0，

所以设直线CD方程为y＝x＋m，

将x＋y－3＝0代入＋＝1得：

633x－43x＝0，即A(0，3)，B46所以可得|AB|＝；

3将y＝x＋m代入＋＝1得：

633x＋4mx＋2m－6＝0，

22222222222x2y2x2y2343，－，

33x2y2

13

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则|CD|＝22x3＋x42－4x3x4＝22218－2m，

3又因为Δ＝16m－12(2m－6)>0，即－3

1所以当m＝0时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为|AB|·|CD|＝286. 32x2y21312．(2013·江西)如图，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点P1，，离心率e＝，直线lab22的方程为x＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

xy3解

(1)由P1，在椭圆2＋2＝1上，得

ab2122a2＋92＝1， 4b

①

②

c12222又e＝＝，得a＝4c，b＝3c，

a2②代入①得，c＝1，a＝4，b＝3. 故椭圆方程为＋＝1. 43222x2y2(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y＝kx－22由xy＋＝143222

2得，

(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0，

8k4k－12x1＋x2＝2，x1x2＝2. 4k＋34k＋322

14

y31－k＋k＝2y32－212x1＋x

1－2－1kx－31－＝2kx2－－32x＋

1－1x2－1＝2k－312x＋11－1x2－1

＝2k－3x1＋x2－22·xx

12－x1＋x2＋18k2＝2k－34k2＋3－22·4k2－122

4k2＋3－8k4k2＋3＋1＝2k－1. 又将x＝4代入y＝k(x－1)得M(4,3k)，3k－3∴k213＝3＝k－2，

∴k1＋k2＝2k3. 故存在常数λ＝2符合题意．

15

1213．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点的抛物线x＝－43 2y的焦点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；

→→(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足PA·PB＝

→2PM？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．

x2y2解

(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1 (a>b>0)，

abc1由题意得b＝3，＝，解得a＝2，c＝1. a2故椭圆C的标准方程为＋＝1. 43(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，

故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1 (k≠0)．

x2y2xy＋＝1由43y＝kx－2222＋1

2

得(3＋4k)x－8k(2k－1)x＋16k－16k－8＝0.

①

因为直线l与椭圆C相切，

2

所以Δ＝[－8k(2k－1)]－4(3＋4k)(16k－16k－8)＝0. 1整理，得32(6k＋3)＝0，解得k＝－. 211所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2. 2213将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为1，. 22(3)若存在直线l1满足条件，则直线l1的斜率存在，设其方程为y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得

(3＋4k1)x－8k1(2k1－1)x＋16k1－16k1－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]－4(3＋4k1)(16k1－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0. 1所以k1>－. 2

16 22222222

2xx8k1k1－，x＝16k1－16k1－81＋2＝3＋4k21x213＋4k2. 1因为→PA·→PB＝→PM2，

即(x2)(xy51－2－2)＋(1－1)(y2－1)＝4，

所以(x2)(x251－2－2)(1＋k1)＝4，

即[x－2(x251x21＋x2)＋4](1＋k1)＝4. 2所以16k1－16k1－83＋4k2－2·8k1k1－＋413＋4k21(1＋k21) 4＋4k2＝153＋4k2＝，

14解得k11＝±2. 因为A，B为不同的两点，所以k11＝2. 于是存在直线l11满足条件，其方程为y＝2x. 17