3.1.2 导数的概念第二课时教案

《导数的概念》教学设计

授课教师：苏红

一、教材分析

《导数的概念》是高中新课标人教A版选修2-2第一章第一节第二课时的内容，此课是在学生学习了物理课程中的瞬时速度的概念，并对函数的平均变化率有一定认识的基础上进行教学的。由平均速度引入瞬时速度，从而运用逼近思想将平均变化率过渡到瞬时变化率，由实例出发归纳得出导数的概念，为后面导数的几何意义、导数的计算与应用等知识的学习奠定了基础。

瞬时速度的探究过程以及导数概念形成，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的类比、概括与归纳能力。

二、教学目标

知识目标：了解导数概念的实际背景；理解导数的内涵；能用导数的定义求函数在某点处的导数；

能力目标：让学生经历“探究—类比—归纳—应用”的过程，培养学生分析问题探究问题的能力，，感悟由具体到一般的研究方法，感受逼近的数学思想，培养学生类比、归纳以及概括的能力

情感目标：通过让学生参与导数概念的形成过程，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用，让学生体验探究的乐趣，体会数学的美。

确立依据：基于本节课在教材中的地位与作用。

三、教学重难点

教学重点：导数的概念的形成与理解。

教学难点：在平均变化率的基础上探究瞬时变化率，理解导数的内涵。

确立依据：本节课是在没有极限这个知识的基础上来讲解导数的概念，因此在教学中应把重点放在概念的形成上，注意引导好学生理解逼近的思想。

突破方法：以问题引入、探究归纳、概念解释、定义运用四个步骤突破重难点。

四、教法、学法

1、教法：结合本节课的教学重难点以及学生的实际情况，在教学中，我借助多媒体，通过设疑、启发、类比等形式，充分发挥教师的主导作用，引导学生积极参与由平均变化

1

率到瞬时变化率的推导过程，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、由特殊到一般、循序渐进，力求让学生在经历由平均速度到瞬时速度的探究过程中，理解瞬时变化率，理解导数的内涵。

2、学法：学生已在物理课程中学***均速度与瞬时速度，具备了一定的认知基础，我在学法指导方面充分利用这一认知基础，回避了学生较难理解的极限思想，而以直观形象的逼近思想探究瞬时速度，让学生学会自主观察、分析、归纳等学习方法，让他们主动探究，理解导数的内涵。

◆教学用具：多媒体、实物投影仪

五、教学过程

教学过程分为“复习提问，引入新课—类比探究，形成概念—初步运用，示例练习—反思小结，培养能力—课后作业，能力提升”五个环节进行。

教

学

环

节

复

习

提

问

，

引

入

新

课

教学内容

设计说明

（一）复习

函数的平均变化率及其几何意义

函数平均变化率的一般求法

（二）引入

引例：在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系ht4.9t6.5t10：

2为新课的的讲解作准备

针对新概念，创设学生熟悉的问题情境，让学生从概念的现实原型体验感受直观背景。

运动员在0t65)10，

49h 65h()h(0)平均速度为v49

=（0m/s）65-049O h(0)h(

问题一：

(1)运动员在这一时刻是静止的吗？

65这段时间段里，位移49

t

2

(2)用平均速度描述运动员的状态合理吗？

教师引导学生回答。

虽然运动员在0t引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的65这段时间里的平均速度为0(m/s)，49运动状态，为了能更准确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

将抽象问题具体化，使学生跟靠近问题的中学，让学生带着疑问进入课堂，激发学生的求知欲望。

但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能合理地描述运动员的运动状态．

既然平均速度不能合理的描述运动员的运动状态，为了能够比较准确地了解运动员在某一时刻的运动状态，我们可以考察什么物理量？

例如：想了解运动员在t=2秒时的瞬时速度？

类

比

探

究

，

形

成

概

念

（一）瞬时速度

问题二：如何求运动员在t=2秒时的瞬时速度？

先考察t=2秒附近的时间区间

[ 1.99, 2 ],

[ 1.999, 2 ],

[ 1.9999, 2 ],

[ 1.99999, 2 ],

…

[ 2, 2 .01 ],

[ 2, 2.001 ],

[ 2, 2.0001 ],

[ 2, 2.00001 ],

…

为由平均速度过渡到瞬时速度的求得作伏笔。

通过引导，使学生进一步体会从平均速度出发，“由已知探究未知”的数学思想方法。

通过例子，以及计算结果，推进新课的讲解，同t表示时间的增量，先以t2之后的时间区间为例，则t2之后的任意时刻可表示为2t(t0)

运动员在[2,2t]这段时间内的

h(t)4.9t26.5t10

vh(2t)h(2)4.9t13.1

t[ 2, 2 .01 ]

t0.01

v13.149

[ 2, 2.001 ]

t0.001

v13.1049

[ 2, 2.0001 ]

t0.0001

v13.10049

[ 2, 2.00001 ]

t0.00001

v13.100049

…… t0.0001

引导学生观察：当t趋于0时，平均速度有什么变化趋势？

时让学生感受逼近的数小结：在[2,2t]这段时间内的当t趋于0时，平均速度学思想。

3

趋近于一个确定的值-13.1。

通过引导，使学生进一步体会从平均速度出发，“由已知探究未知”的数学思想方法。

通过例子，以及计算结果，推进新课的讲解，同时让学生感受逼近的数学思想。

体会当时间间隔无限变小时，平均速度趋近瞬时速度。

t表示时间的增量，同样对t2之前的时间区间，则t2之前的任意时刻可表示为2t(t0)

运动员在[2,2t]这段时间内的

h(t)4.9t26.5t10

h(2t)h(2)v4.9t13.1

t[ 1.99, 2 ]

t0.01

v13.051

[ 1.999, 2 ]

t0.001

v13.0951

[ 1.9999, 2 ]

t0.0001

v13.09951

[ 1.99999, 2 ]

t0.00001

v13.099951

…… t0.0001

引导学生观察：当t趋于0时，平均速度有什么变化趋势？

小结：在[2t,2]这段时间内的当t趋于0时，平均速度趋近于一个确定的值-13.1。

不管选取哪一个时间段，当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1m/s。

当t趋近于0时，区间[2,2t]左右端点的值非常接近。从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s。

(二)表示方法

我们用

引出符号表示，代替繁琐h(2t)h(2)limlim(4.9t13.1)13.1

t0t0的文字，让学生体验数学th(2t)h(2)表示“当t趋近于0时，

趋于确定值的符号美与简约美。

t13.1。”

4

符号lim表示逼近，即“当t趋近于0时…趋于确定值。

t0让学生理解表达式的含义，培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力。

用直观形象的逼近思想来定义t0时刻的瞬时速让学生写出运动员在t1或t3的瞬时速度。

(三)类比探究

教材P5的探究：

问题四：运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？

引导学生思考，让学生自己意识到将t0替换上式中的2即可度，更符合学生的认知规h(t0t)h(t0)类比得到lim

t0t

律，提高了他们的思维能力的同时，也让学生体验了由特殊到一般的思维方法。

问题五：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？

将瞬时速度一般化，由具类比问题四的结果将h(t)换成f(x)即可得到函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率

体问题抽象为数学问题，自然而然引出函数在某一点处的导数的定义。

概念解释，加强学生对导数的理解，强化对重点知'f(x0x)f(x0)lim

x0x（四）概念形成

函数yfx在xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)ylim，

x0xx0xlim我们称它为函数yfx在xx0处的导数，记作fx0或识的巩固。

理解导数的定义，培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力

y'|xx0，即f'x0=limf(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x'例如：2秒时的瞬时速度可以表示为h213.1或y'|t213.1。

注：瞬时变化率与导数是同一概念的两个不同名称。

让学生试着写出函数yfx在x1,x3这两点处的导数。

引导学生由导数的定义归纳出求函数在某点处导数的一般步

5

骤：

(1)求函数值增量yf(x0x)f(x0)；

(2)求平均变化率用导数的定义求函数在某点处的导数有助于学生对导数概念的理解，求解步骤的归纳提升为例题的讲解与习题的演练做准备。

通过例子，加深学生对导数概念的理解，强化对重2yf(x0x)f(x0)；

xxf(x0x)f(x0)ylim(3)求瞬时变化率lim

x0xx0x总结：一差、二比、三极限

初

步

运

用

，

示

例

练

习

例1求函数f(x)=3x在1处的导数。

练习：(1)求函数yx在x2的导数．

(2)求函数yxx在x1处的导数。

22点知识的巩固。

通过练习，一方面培养学生的动手能力，另一方面加强概念的理解。

反

思

小

结

，

培

养

能

力

h(t0t)h(t0)

th(t0t)h(t0)瞬时速度

lim

t0t平均速度

瞬时变化率

课堂小结是一个知识重组的过程，通过课堂小结将知识归纳整理，而系统化、条理化的知识更便于学生吸收。

f'x0=lim即导数

f(x0x)f(x0)ylim

x0xx0x求函数yfx在xx0处的导数步骤：

“一差；二比；三极限”

课

后

作

业

，

能

力

提

升

板

书

设

计

1、《优化方案》P7 同步测控

2、阅读教材P6例1思考课后练习

3、预习§1.1.3

同步测控的练习题难度稍低，比较适合我们的学生，作业也是学生信息的反馈，课后作业的完成情况便于教师及时查漏补缺，以调整教学安排。

导数

清晰条块化的板书能加表达式…… 平均变化率

…… 深学生对课堂知识的印例题讲解…… 平均速度…… 6

习题板演…… 瞬时速度

…… 象，便于学生更好地掌握瞬时变化率

……

【教学设计说明】

本节课旨在让学生经历由平均速度到瞬时速度的探究过程中，类比归纳出导数（即瞬时变化率）的概念，整堂课以瞬时速度探究、类比探究、概念形成为线索展开．

1．学习本节课时，我们的学生在物理中已经学***均速度与瞬时速度，具备了一定的认知基础，因此将求跳水运动员的瞬时速度作为情境引入新课。

2．由于我们的学生并未学习过极限的概念，因此，在教学中，定义t0时刻的瞬时速度时，只要求学生认识理解“当t趋于0时，平均速度趋于定值，这个定值就是t0时刻的瞬时速度”，用逼近的思想定义瞬时速度，而不追求理论上的严密性。。

2．教学过程，为了突破本节课的重点：导数的概念的形成与理解，以及难点：在平均变化率的基础上探究瞬时变化率，理解导数的内涵，在教学中层层递进逐步提出问题，新课引入时让学生带着问题走进课堂，新课探究时又逐步提出问题二、三、四、五。在问题提出时，教师充当好引导者的角色，充分调动学生的主观能力性，让学生积极主动参与探究，力求在知识的建构过程中让学生的观察、分析、类比、归纳以及概括能力得以培养与提升．

3．在教学手段上，借助多媒体课件辅助教学，让教学效果更为直观，帮助学生理解逼近的数学思想，使得数学知识让学生更易于理解和接受。同时课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．

4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中。

新知。

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