3.2.1 几个常用函数的导数第二课时教学实录

几个常用函数的导数

李会刁

教学目标：

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2、y导数公式； 2.能利用常见导数的求导公式，求简单函数的导数以及切点处切线方程。

教学重点：常见函数yc、yx、yx2、y1yx，的x、

1yx的导数公式及应用

x、教学难点：利用常见导数的求导公式，求简单函数的导数以及切点处切线方程。

教学过程：

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，y0表示函数yc图像则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，y1表示函数yx图像则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x的导数

2

1

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)12

x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxxn*n1（2）推广：若yf(x)x(nQ)，则f(x)nx

5.求函数yx的导数

yf(xx)f(x)xxx解：因为

xxx

xxxxxx



xxxx

1

,xxx

11

所以ylimylim.x0xx0xxx2x

三．课堂练习

1.求下列函数的导数 212-4（1）y=a(a为常数). （2）y=x. （3）y=x. 2（4）y=5 （5）y=5x （6）y=e



2

2．求曲线y1

与yx的交点坐标；在交点处两曲线的切线方程；两条切线与x轴围成的三角形面积。 x3.求曲线yx上的点M(4,2)处的切线与坐标轴围成的三角形面积。

4.曲线y=x2的一条切线倾斜角为45。，求切点坐标.

四．回顾总结

函数

导数

yc

y'0

yx

y'1

yx2

y'2x

y1x

y'1x2

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

五．课堂作业

课时作业（四）：基础达标

能力提升：7、8、10、12

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