1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计模板

1.1.2-1.1.3 四种命题与四种命题间的相互关系

学习目标：

1：掌握四种命题的相互关系

2：掌握四种命题的真假性定理，互为逆否命题的等价性定理

复习引入

一、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．

定义的要点：能判断真假的陈述句．

判断为真的语句叫做真命题。

判断为假的语句叫做假命题。

二、从构成来看，所有的命题都具由条件p和结论q两部分构成

“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。

其中p和q可以是命题也可以不是命题.

下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

1.

若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

2.

若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

3.

若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

4.

若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？

1.

若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

2.

若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫

做互逆命题。

原 命 题：其中一个命题叫做原命题。

逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。

即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是”两直线平行，同位角相等”

观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？

1.

若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作

“┐p” “┐q”，读作“非Ｐ”“非q”。

互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。

原命题:若p,则q

否命题:若┐p,则┐q 例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行

”。

观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

1.

若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。

原命题: 若p, 则q

逆否命题: 若┐q, 则┐p

例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等

”。

知识提炼

1.原命题与逆命题

2.

原命题与否命题

3.

原命题与逆否命题

原命题,逆命题,否命题,逆否命题

四种命题形式:

•

原命题: 若 p 则 q •

逆命题: 若 q 则 p •

否命题: 若┐p 则┐q •

逆否命题:若┐q 则┐p 1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设和结论（即把原命题写成“若P则q”的形式） 注意：三种命题中最难写

的是否命题。 2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或”，

（3）“都”的否定为“不都”。

例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：

1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。(真) 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。(真) 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。(真) 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。(真) 2）原命题：若a=0, 则ab=0。(真) 逆命题：若ab=0, 则a=0。(假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。(假) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。(真) 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。(假) 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。(真) 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。(真) 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。(假) 例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其假。 分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或”

“且”。

解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。（真） 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0 （真） 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0. （假）

小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。

一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

四种命题的真假性关系如下：

1.两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系。

练一练

1.判断下列说法是否正确。

1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错） 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。

答：0个、2个、4个。

3:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。

(1)原命题： 若 a=b 则a2=b2 真命题

答:逆命题： 若 a2=b2 则 a=b 假命题

22 否命题： 若 则 假命题

abab22

逆否命题： 若 ab则 ab真命题

(2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是0；假

逆命题：若一个数的平方是0，则它是负数；假

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是0；假

逆否命题：若一个数的平方不是0，则它不是负数. 假

试判断上面命题的真假.

4、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.并判断真假。

课本P4练习(3)奇函数的图象关于原点中心对称.

解：原命题：若一个函数是奇函数 , 则它的图象关于原点中心对称;

真命题

逆命题：若一个函数的图象关于原点中心对称,则它是奇函数; 真命题

否命题：若一个函数不是奇函数 , 则它的图象不关于原点中心对称; 真命题

逆否命题:若一个函数的图象不关于原点中心对称 , 则它不是奇函数. 真命题

否命题与命题的否定



否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。



命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。



对于原命题: 若 p , 则 q 有

否命题: 若┐p , 则┐q 。

命题的否定: 若 p ，则┐q 。

例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命题的否命题是（ 题的否定是（ ）

(A)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

(B)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

(C)△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

(D) △ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角

），命

下面是一些常见词语的否定原词语等于否定词不等于不是原词语任意的否定词某个一个也没有不都是至多有一个至少有两个都是不大于大于至少有n个至多有（n-1)个大于或等于至多有n个至少有（n+1)个小于存在某x，对所有x,存在某x，对任何x，不成立成立成立不成立所有的某些

证明命题的方法



方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；



方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q）为真，则原命题也为真；



方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。

例1：

证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2. •

证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”

只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。

∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1

∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4

∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，

故原命题也为真命题。

证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1

∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4

∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，

是至少有一个

∴假设不成立，即p2＋q2≠2，

故原命题为真命题。

关于反证法

在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。

-----这是一种很好的尝试，它往往具有正难则反，出奇制胜的效果。

-----它其实是反证法的一种特殊表现：从命题结论的反面出发，引出矛盾（如证明结论的条件不成立），从而证明命题成立的推理方法。

反证法的一般步骤：

(1)

假设命题的结论不成立,即假

设结论的反面成立；（反设）

(2)

从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(归谬) (3)

由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。(结论) 几点注意：

1.反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾

2.导出矛盾有四种可能：

（1）与原命题的条件（题设）矛盾；

（2）与定义、公理、定理等矛盾；

（3）与结论的反面（反设）成立矛盾。

（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

3.反证法的使用范围：

（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；

（2）唯一性命题；

（3）“至多”或“至少”性命题；

（4）否定性或肯定性命题。

例2：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。



已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径. 

求证：弦AB、CD不被P平分. 

证明：假设AB、CD被P平分，

则OP是等腰△AOB, △COD的底边上的中线，

所以，OP⊥AB, OP⊥CD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立，

故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。

课堂小结

1.本节重点研究了四种命题的概念与相互关系。即如果 原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若p则q即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题；逆否命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，即得其逆否题； 2.两个互为逆否的命题同真或同假 3.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

作业 1. P8：习题1.1 A组 2、3、4 2. 课时作业2 预习：1.2充分条件与必要条件