2.3 抛物线（通用）教案设计范例

选修1-1 §2.3 抛物线

【基础梳理】

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准

方程

y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

对称轴

焦点

离心率

准线方程

范围

开口方向

【知识拓展】

pp，0的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F22焦半径．

2．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

p2(1)x1x2＝，y1y2＝－p2. 4(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．

(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．

【小试身手】

px＝－

2x≥0，y∈R

向右

px＝

2x≤0，y∈R

向左

pF2，0

y＝0

p－，0

F2e＝1 py＝－

2y≥0，x∈R

向上

py＝

2y≤0，x∈R

向下

p0，

F2

O(0,0) x＝0 p0，－

F2

1．(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是(

) A．(0,2)

C．(2,0)

答案

D a解析

∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为4，0，

∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0)．

2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(

) A．9

B．8

C．7

D．6 答案

B 解析

抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(

) 11－，

A.22C．[－1,1]

答案

C 解析

Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，

由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，

解得－1≤k≤1. 【考点探究】

探究一

抛物线的定义及应用

例1

设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．

答案

4 解析

如图，

B．[－2,2]

D．[－4,4]

B．(0,1) D．(1,0)

过点B作BQ垂直准线于点Q，

交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.

即|PB|＋|PF|的最小值为4. 举一反三

1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

解

由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22

＝16＋4＝25，

即|PB|＋|PF|的最小值为25. 2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

解

由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为所以d1＋d2的最小值为32－1. 3.＝32，

12＋－12|1＋5|

思考：在椭圆和双曲线中如何考查类似的问题，应如何解决？

思维升华

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

探究二

抛物线的标准方程和几何性质

x2y2典例2

已知双曲线C1：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦ab点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(

) 83A．x2＝y

3C．x2＝8y

答案

D x2y2解析

∵2－2＝1的离心率为2，

ab22cc2a＋bb2b∴＝2，即2＝2＝4，∴2＝3，＝3. aaaaa163B．x2＝y

3D．x2＝16y

pxyb0，，2－2＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±3x.由题意得x＝2py(p>0)的焦点坐标为2aba222

p21＋32＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y. 典例3

(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为(

) A．2

B．4

C．6

D．8

思维升华

(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

探究三

直线与抛物线的综合应用

典例4

已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B→→两点．若MA·MB＝0，则k＝________. 答案

2 解析

抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

8则x1＋x2＝4＋2，x1x2＝4. k8所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，

ky1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. →→因为MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2. 举一反三

（2018全国I卷）1.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（

）

D. 8 A.

5 B. 6 C. 7 【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过点（-2，0）且斜率为

的直线为：3y=2x+4，

联立直线与抛物线C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，

解得y1=2，y2=4，不妨M（1，2），N（4，4），

，

．

则

• =（0，2）（3，4）=8．

•故选：D．

思维升华

(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

【课后作业】

1．(2017·昆明调研)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直→→线与抛物线C交于A、B两点，如果OA·OB＝－12，那么抛物线C的方程为(

) A．x2＝8y

C．y2＝8x

答案

C p解析

由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，

2y＝2px，联立消去x得y2－2pmy－p2＝0，

px＝my＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，

pppmp23→→2得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝my1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－1222244⇒p＝4，

即抛物线C的方程为y2＝8x. 2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(

) A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝2

D．x＝－2 答案

B p解析

∵y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，

2p∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，

2p即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，

2即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y1＋y2则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，

2∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若2B．x2＝4y

D．y2＝4x

以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为(

) A．y2＝4x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x

答案

C 3p解析

∵抛物线C：y2＝3px(p>0)的焦点为F(，0)，

4∴|OF|＝3p，

4B．y2＝2x或y2＝8x

D．y2＝2x或y2＝16x

∵以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连接AF，AM，可得AF⊥AM，在Rt△AOF中，|AF|＝

9p24＋，

163p49p24＋16|OF|∴sin∠OAF＝＝|AF|，

根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，

|AF|∴∠OAF＝∠AMF，可得在Rt△AMF中，sin∠AMF＝＝|MF|9p24＋，

163p49p24＋163p49p24＋16，

∵|MF|＝5，|AF|＝

9p24＋16＝5∴

，

9p215p416整理得4＋＝，解得p＝或p＝，

16433∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x. y1y24．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的x1x2值一定等于(

) A．－4

B．4

C．p2

D．－p2

答案

A 解析

①若焦点弦AB⊥x轴，

pp2则x1＝x2＝，∴x1x2＝；

24∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，

∴y1y2＝－4. x1x2

②若焦点弦AB不垂直于x轴，

p可设AB的直线方程为y＝k(x－)，

2p2k2联立y＝2px，得kx－(kp＋2p)x＋＝0，

42222p2则x1x2＝. 4y1y2∴y1y2＝－p2.故＝－4. x1x25.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(

)

A．y2＝9x

B．y2＝6x

C．y2＝3x

D．y2＝3x

答案

C 解析

如图，

分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，

∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F11作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，即223p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.故选C. 2|PF|6．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，则的最小|PA|值是(

) 12322A.

B.

C.

D.

2223答案

B

解析

抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，

如图，

过P作PN垂直直线x＝－1于N，

由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，

在Rt△PAN中，sin∠PAN＝当|PN|，

|PA||PN||PF|＝最小时，sin∠PAN最小，

|PA||PA|即∠PAN最小，即∠PAF最大，

此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y＝k(x＋1)，

y＝kx＋1，联立2得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，

y＝4x，

所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，

解得k＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，

|PF||PN|2＝＝cos∠NPA＝，故选B. |PA||PA|27．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝________. 答案

12 3解析

焦点F的坐标为4，0，

方法一

直线AB的斜率为所以直线AB的方程为y＝即y＝3，

333x－，

3433173x－，代入y2＝3x，得x2－x＋＝0. 34321621设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，

2213所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12. 22方法二

由抛物线焦点弦的性质可得

2p3|AB|＝2＝2＝12. sinθsin30°8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与→→C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 答案

2 解析

如图，

由AB的斜率为3，

→→知∠α＝60°，又AM＝MB，

∴M为AB的中点．

过点B作BP垂直准线l于点P，

则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，

1∴|BP|＝|AB|＝|BM|. 2p∴M为焦点，即＝1，∴p＝2. 219．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，2A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________. 答案

6 解析

抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，

准线方程为x＝－2. x2y2设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，

abc1由题意，c＝2，＝，

a2可得a＝4，b2＝16－4＝12. x2y2故椭圆方程为＋＝1. 1612把x＝－2代入椭圆方程，解得y＝±3. 从而|AB|＝6. *10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．

答案

(2,4)

解析

如图，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

2y1＝4x1，则2

y2＝4x2，

两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．

当k存在时，x1≠x2，

y1＋y2y1－y2则有·＝2，

2x1－x2又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2. y0－0由CM⊥AB，得k·＝－1，

x0－5即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，

即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，

得y2＝12，则有－23

故r2＝y20＋4<12＋4＝16. 又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，

所以4