6.4 反三角函数优质课教案内容

反正弦函数

教材分析

反正弦函数是反三角函数的重要组成部分，是反三角函数中的代表，为三角方程解的表示创造条件，作为基本初等函数意义重大．

教学目标

1、

知识目标

（1）理解正弦函数没有反函数；（2）理解并掌握反正弦函数的概念；

（3）理解并掌握反正弦函数的图像；（4）能初步用反正弦形式表示相应角的值．

2、

情感目标

（1）培养学生思维的严谨性；（2）感受数学魅力，激发学生学习数学的兴趣．

教学重点

认识和掌握反正弦函数的意义．

教学难点

（1）理解反正弦函数概念产生的过程；（2）掌握反正弦函数记号的具体含义．

教学过程

一、课堂引入

如图所示，RtABC中，AC3,BC4,AB5，我们知道B是一个确定的锐角，且sinB3，但它又不是一个特殊角，那么我5们该如何来准确表示它呢？

为了解决类似用角的正弦值来表示角的值的问题，我们今天来引入并讨论研究一个新的函数――反正弦函数．

二、教学过程

（一）反正弦函数概念产生的过程：

（1）问题一：从字面意思来理解，你觉得“反正弦函数’是什么函数呢？

回答：正弦函数的反函数．

（2）问题二：正弦函数的反函数？正弦函数ysinx是否存在反函数？

回答：不存在，因为它是周期函数，任意正弦值都能对应于无数个角值．

（3）问题三：正弦函数ysinx,xR没有反函数，但我们能否通过给定一个定义域，使得新函数存在反函数? （辅以多媒体演示，让学生有更加直观的感知）

回答：可以，通过截取一部分区间来给定其定义域即可，比如ysinx,x，．

223（4）问题四：为什么截取,，有何优点？而不截取0,或者,？

22222回答：因为截取,，可以：（1）确保值域为－1，1，跟正弦函数一致；

22（2）包含了我们最熟悉的锐角范围；（3）使得定义域关于原点对称，为研究奇偶性提供可能．

,，y,－，11解决完以上问题，我们就可以选定函数ysinxx，并求出22

xarcsiny,y－1，1,x，，rcsni,得反正弦函数ya22xx11,－，y，．

22回到我们刚上课提出的问题，那么Barcsin，在此式中，arcsin表示一个角的弧度数，35353333arcsin，，则是这个角的正弦值，即sinarcsin，这就为解决类似一般522555角的表示提供了一种方法．

例1：填表

（1）arcsin321；（2）arcsin；（3）arcsin；（4）arcsin1；（5）arcsin0；

222（6）arcsin321（7）；（8）arcsin；（9）arcsin1．

arcsin222例2：判断正误

（1）arcsin4321；（2）arcsin；（3）arcsin0；

22263（4）arcsin1（5）sinarcsin．

2k,kZ；22221yy=arcsinxy=x（二）反正弦函数的图像研究：

类比由指数函数到对数函数的研究过程，我们可以由反函数的性质，得出反正弦函数yarcsinx的图像．

三、课堂小结并拓展问题

师：这节课我们学习了什么知识？

学：我们给出了反正弦函数的概念，初步学会了用反正弦形式表示角的值

师：好的，今天我们主要解决了如何用反正弦形式表示相应的角值，已经能借由任意正弦值去表示y=sinxo12x内的相应角值，但是对于其它范围内的角值2，21sinx,x,中的x如何表示？这将是我们下节课要研究又该如何去表示呢？例如，32的主要问题．

四、课后作业

练习册P42习题6.4 A：1（1）、2（1）（2）、3（1）、4（1）；5（1）（2）．