3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录｜教案在线预览

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3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）元氏一中曹青育教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：一、复习引入1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝(a1,a

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所属课文：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

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学校：元氏县第一中学

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录

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关键词：3.1.4 空间向量的正…教学实录

正文

3.1.5空间向量运算的坐标表示（夹角和距离公式）

元氏一中

曹青育

教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学过程：

一、复习引入

1. 向量的直角坐标运算法则：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；

⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；

⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3

上述运算法则怎样证明呢？（将a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可）

2. 怎样求一个空间向量的坐标呢？（表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．）

二、新课讲授

⒈

向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求这两个向量的模. 222a3b32．这两个式子我们称为向量的长度公式．｜a｜＝a12a2，｜b｜＝b12b2

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵

a·b＝|a||b|cos＜a,b＞



∴

a1b1a2b2222a3b32·cos＜a,b＞

aba12a2＝·b12b2由此可以得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

dA、B(x2x1)2(y1y2)2(z1z2)2，其中dA、B表示A与B两点间的距离．

3. 练习：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴线段AB的中点坐标和长度；⑵到A、B两点

距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件．

（答案：(2,3,3)；29；24x6y8z70）

说明：⑴中点坐标公式：OM(OAOB)＝(12x1x2y1y2z1z2

,,)；222⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

4. 出示例5：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1与DF1所成的角的余弦值．

分析：如何建系？

→

点的坐标？

→

如何用向量运算求夹角？

→

变式：课本P104、例6 5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

三.巩固练习作业：课本P105练习 3题.

A1B1，求BE14

关于本教案的常见问题

Q：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教学实录是什么类型的资料？

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