3.1.3 导数的几何意义教学设计实例

导数的几何意义

本节课教学指导思想与理论依据：

微积分是人类思维的伟大成果之一，是人类经历了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果，它开创了向近代数学过渡的新时期.它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。导数的概念是微积分核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

本节教材选自人教A版数学选修2-2第1章“导数及其应用”第一节1.1.3“导数的几何意义”，是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内容，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化快慢和极值等性质最有效的工具，是本章的关键内容。《新课程标准》要求，微积分教学“返璞归真”，把极限、连续、瞬时速度等概念，建立在朴素理解的基础上，直接由变化率问题得到导数的概念，进而研究导数的几何意义（图形上的直观体现）及导数在研究函数性质中的应用。

本节内容按照先突破一般曲线的切线定义（割线无限逼近的确定位置上的直线就是该点处的切线）；再结合旧知识“平均变化率表示割线的斜率”，学生对照动画探究“割线逼近切线→割线的斜率逼近切线的斜率→切线的斜率对应该点处的瞬时变化率即导数”的线索展开，从近似过渡到精确，通过图形直观逼近的方法消除学生对极限的神秘感，通过将曲线一点处的局部“放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现了“局部以直代曲”背后的深刻内涵和哲学原理。

学情分析：

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，已经具备一定的微分思想，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。 教法分析：

本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形

式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。 学法指导：

借助多媒体技术，通过设计环环相扣的探究问题，创设丰富的教学情境，激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。引导学生动手操作，指导学生讨论交流从而发现规律，培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精神，提高学生合作学习和数学交流的能力。

使学生充分经历“探索感知——讨论归纳——发现新知——应用新知解释现象”这一完整的探究活动，以获得理智和情感体验，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。学生自主探索、动手实践、合作交流的学习方式，体现在整个教学过程中。

教

案

导数的几何意义

教学流程

动画类比、知识迁移，获得切线新定义

复习旧知，自然引出研究问题

姓 名

学

科

课

题

张双科

数学

导数的几何意义

年 龄

教材名称

年

级

职 称

教材出版社

学 期

人民教育出版社

数形结合，学生探索获得导数的几何意义

通过例题和练习，巩固知识，加深对导数的认识

1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；

通过“以直代曲”思想的具体教学目标

运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。

教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

教学重难点及关键

教学难点：1)发现和理解导数的几何意义；

2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

关键：师生一同探究和理解导数的几何意义

教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本主要教学

2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的方法及学法

动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点；

学法：自主、合作、探究

通过多媒体（几何画板、幻灯片）直观的呈现出函数的图像，使学生对其有丰富的感性认识，节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；

教具

增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

教 学 过 程 预 设

教学环节

教

师

活

动

（教学内容的呈现）

学

生

活

动

（学习活动的设计）

设计意图

1.回顾旧知、引出研究的问题：

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)生：第一步：求平均变化率yfx0xf(x0)；

xxfx0xf(x0). x0x（即x0，平均变化f(x0)lim率趋近于的确定常数就是．．．．．．该点导数）

．．

提出问题，老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下，复习旧知，引入新课。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数的几何意义是什么？

就是函数在该点处的瞬时变化率。那么：问：(1) 求第二步：求瞬时变化率．．．．．导数f(x0)的步骤有哪几步?

一、创设情境、导入新课

(2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率yfx0xf(x0)

在图形中表示什么？

xx

yy=f(x)B

y

AL1a1

xCxxx0生：平均变化率表示的是割线PPn的斜率.

这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时．．．．．．．．．．．x．y

y变化率(lim)在图中又表示什么呢？今天我们x0x就来探究导数的几何意义。

1.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势，看下面的动画。．．．．．．．多媒体显示【动画1】：圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，割线AB的变化趋势。（教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？）把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示生：先感知后发现，当以求导数的两个步．．．．．．．骤为依据，从平均．．．．变化率的几何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联系，在x0，随着点B沿着圆逼近点A，割线AB无限趋近于点A处的切线。

学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：

图形上从割线入手当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点来研究问题。

带着问题观察动画，借助熟悉的即x0，圆中的某点处的割P(x0,f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

割线的变化趋势。

用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。

几何意义做好铺垫

线和切线，学生更易感知当x0，二、类比探讨、获得新知

（或投影）教材上点（P7）Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势图。

图

师：类比【动画1】，当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，即x0，研究割线PPn的变化趋势。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线，那么：x0，割线的斜率？与导数f(x0)又有何关系呢？

2.数形结合，探究导数的几何意义

结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。

类比两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切(1)根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率线斜率k，即：不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：探究一1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))：

klimx0fx0xf(x0)f(x0)x0，割线逼近x该点处的切线

通过两个思考k又有何关系？

(2)对比“x0时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？

当x0,则knk, 即klimkn

x0

问题：（1）先解决

割线斜率与切线斜生：切线的斜率对应该点率的关系，（2）再处的瞬时变化率，即该点处对照平均变化率与的导数。

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：瞬时变化率的关系，得出切线的斜率即对应该点处的

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

y y=f(x) Q 割线

T 切

瞬时变化率即导fx0xf(x0)klimf(x0)x0x数。

探究一要求学生结合图形直观感知，P

o 线

x

找到联系得出导数的几何意义。

1.获得导数的几何意义

活动后，展示学生探究成果，教师重点讲评：

割线PPn的斜率是kn

生：求切线方程。

生：点P附近，曲线和直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。

渗透用导数的几何意义研究函数的增减性

借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了完整的探究过程后，教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更好地建构知识。

突破导数的几何意义这个学习重点

通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的f(x0x)f(x0), (x0x)x0当点Pkn无限趋近n沿着曲线无限接近点P时，于切线PT的斜率k，即

klimx0f(x0x)f(x0)切线PT的斜率k即为f(x0)，x函数在xx0处的导数。

导数的几何意义：

三、f/x0limx0fx0xf(x0)＝切线的斜率。所以，x/探索小结、重点讲评

函数f(x)在xx0处的导数fx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。

师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

2.了解以直代曲思想

把点P附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

P

师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？

PP该点处的切线的增减变化情况一致。如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。

1.导数几何意义的应用

例1：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图象。

要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点

附近的单调性，渗透“数形结合”的生：作出曲线在这些点处的切线，在t0处切线平行于思想方法，运用以直代曲的思想方四、知识应用、巩固理解

x轴，即h(t0)0，说明法。

在t0时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在问题1由具体的导数入手，熟悉探究二

1．用图形来体现导数h(1)3.3，/t1,t2作出切线，切线呈下导数的几何意义，帮助学生感知导数并用数学语言表述出来。降趋势，即

h/(0.5)1.6的几何意义，2．变式（如图）：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

分析：附近：瞬时、增减、变化率，即研究函．．．．．数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。

h(t1)0,h(t2)0，函数与函数单调性之间在点附近单调递减。曲线在的联系。

t2附近比在t1附近下降得 问题2引导学生更快，则是因为感知导数反映变化率的本质。

运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。

|h(t1)||h(t2)|。

引导优生进一步体小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函．．．．．数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正

负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切

线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，

就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增

减、变化快慢的有效工具。同时，结合以直代曲的

思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化

情况一样，也可以判断函数的增减性。

例题变式1：函数y3x2上有一点(x0,y0)，求该点处的导数f(x0)，并由此解释函数的增减情况

函数在定义域上任意点处的瞬时变化率都是

3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切

线就是直线本身，斜率就是变化率)

例题变式2：下图是函数yf(x)的图象，请回答下面的问题：

生：单调区间有：

会导数用来刻画变化情况的应用和拓展研究导数与函数增减的关系。

变式题复习了导数的求法，加深学生对导数研究函数增减情况应用的认识，也是例题结论的进一步验证。

结合导数的几何意义说明单调性，学生进一步感知导数在研究函数变化情况中的应用

f(x0x)f(x0)解：f(x0)limx0x

3(x0x)2(3x02)lim3x0x[5，2),[2,1),[1,3),[3,5]作出区间内一系列的曲线的切线，发现切线呈现一致

的上升或下降的趋势，即切线的斜率一致为正或负，所以导数值在单调区间内恒正或恒负，对应函数单调递明。

增或递减。

探究三

1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说

2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？

例1 如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

生：从数的角度：导数正负对应函数的增减，

从形的角度反映为切线斜率的正负对应函数的增减。

函数的增减导数的正负

进一步体会用导数的几何意义解决问题，通过小结，加深对导数本质的理解。

切线的斜率的正负

学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意t

0.2 0.4 0.6 0.8 义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

药物浓度的

瞬时变化率

小结：导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减。

例3、求抛物线yx

过点（1，1）的切线方程。

解：因为

2f(1)limf(1x)f(1)(1x)1limlim(2x)2 x0x0x0xx22

所以抛物线yx

过点（1，1）的切线的斜率为2 由直线方程的点斜式，得切线方程为

学生练习，归纳球切线方y12(x1)练习:求双曲线y即y2x1。

11过点（2，）的切线方程。

程的步骤

x2

学生自选和老师指导相结合，学生根

据自己的学习情况五五、练习巩固、提升能力

1、课堂导用P9实践探究：第一部分实践探究可以选择适合自己发展的题进行训都是典型基础题，它包含选择题、解答题，题目编排由浅入深，增加了铺垫的设问，为基础较薄弱的学生引导思路。这部分题目的完成与否，标志着这节课新知识是否基本掌握。

2、课堂导用P9达标测评：第二部分达标测评是基础题与综合题相结合，学生在掌握新知识应用及规范表达的基础上初步接触变式训练和综合训练。这组题的完成标志着学生已达到良好的学***。

学生根据自己的情况选作一部分或全部习题独立完成练习

练，以得到更好地发展。提倡跳跃式选题训练和抓住关键部分进行局部训练，使学生可以避免重复、无效的练习。通过练习及时发现学生的问题，及时纠正，能够对学生情况给予及时评价。

学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）

(1)

f/x0是确定的数/体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想。

启发学生自主小结，知识性内容的（静态），f数（动态）

由x是x的函六六、归纳总结、深化认识

fxxf(x0)f/x0lim0x0x（特殊——一般）

这节课我们学习了哪些知识和方法？

小结，可把课堂所学知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更清晰地梳f/xlimx0fxxf(x)x（静态——动态）

(2)函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在理数学思想方法，并且逐渐养成科学的思维习惯。

xx0处的切线的斜率。

(3)曲线切线方程的求法与步骤

数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。

针对学生素质的差作(1)阅读作业：收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料

作业与练习

(2)书面作业：

1．P18 A组6,B组3 (3)拓展作业：

思考：经过曲线yf(x)上一点P(x0,f(x0))的切线方程如何求呢？

异进行训练，既注重“双基”，又兼顾提高，为学生指明课后继续研究的方向，同时为以后的学习留下悬念，激发学生探索的兴趣。

1、1、3导数的几何意义

导数的几何意义：

。。。。。。。。。。。。 小结: 板板

书设

计

例1 、

例2、

例3、

自 我 反 思

本节课设计为一节“科学探究—合作学习”的活动课，在整个教学过程中以学生为主体，学生以研究者的身份学习，在学习的过程中，注重对每一个知识、每一个发现，总设法由学生自己得出，课堂上主要特色

与

创新之处

给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导。知识的引入符合学生的认知规律，借助图象形象直观去认识和感受它，从形的直观感知进而到代数符号的探究，数形结合获得新知然后应用知识，避免了理论的严格推导过程，再通过练习，逐步加深学生对知识的理解。通过经历完整的探究过程，达到对导数的几何意义较好掌握，能应用它研究函数问题。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。

在教学中向学生提供充分的从事数学活动的机会，促进他们在过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高综合能力，学会学习，进一步在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展，使不同层次的学生，各自争取更大限度的发展。

存在的问题

与不足

动画可用几何画板或PPT显示，根据实际情况选定；（操作

不熟练）

作为探究课，时间控制不好，要注意时间调配；

有些学生对如何画出过该点的切线有点困难，此时，教师给予示范。