习题2.3课堂实录

中心弦与中点弦问题

同学们请看第这样一个问题: （人教A版（选修2-1）第41页例3）已知A、B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是4，求点M的轨迹方程． 94，9 设点M的坐标为（x,y）,那么直线AM,BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直线AM,BM的斜率之积因此可以建立x,y之间的关系式，得出点M的轨迹方程。

回顾一下求轨迹的方法：（1）建系（2）设点（3）代换（4）化简

kAMkBMyy4y24x2y22224x9y1001(x5)

x5x59x259251009我们发现轨迹为椭圆，而且A,B为椭圆左右顶点，而且上面过程是可逆的，也就是椭圆上任意一点与椭圆左右顶点连线是定值4，能否做一般推广呢？结论是什么呢？

9x2y2探求（一）已知椭圆方程：221（a>b>0）,A、B的坐标分别是（-a，0），（a，0），M为椭圆上除左ab右顶点上任意一点，则kAMkBM?

kAMkBMyyy2xaxax2a2

x2y2x2y2x2a2y2y2b2又2212210202222abababxaa

AB为长轴，一条过中心的弦，如果我们把AB绕原点旋转一下，成为过中心的一般弦，（我们把这样的弦简称为中心弦）上述结论是否也成立？

x2y2探求（二）已知椭圆方程：221（a>b>0）,A、B在椭圆上关于原点对称，M为椭圆上与A,B不重合任ab意一点，当直线AM,BM斜率存在时，则kAMkBM?

设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)

kAMkBMyy1yy1y2y12

定值？2xx1xx1xx1x2y21x2x12y2y12y2y12b2a2b2022又22222abxxa

x1y111a2b2

x2y2b2结论：21kAMkBM2

2aba

这是焦点在x轴椭圆，如果焦点在y轴椭圆是否也有类似性质，如果有，结论是什么呢? x2y2a221kAMkBM22bab

观察椭圆标准方程，无非是比上一个常数，比上一个常数，谁的比值大焦点在谁轴上，我们可以把椭圆方程写

成一个通式。x2y2n1(m0,n0,mn)kAMkBMmnm

kABkOMb22a

接着看这样一个问题，把AB平移，M为AB中点，求证x2y2探索（四）已知椭圆方程：221（a>b>0）,O为原点，A、B为椭圆上不重合两点，M为AB中点，求证：abkABkOMb22

ab22a

结论：kABkOM这是焦点在x轴椭圆，如果焦点在y轴椭圆是否也有类似性质，如果有，结论是什么呢? x2y2a2结论：221kAMkBM2bab

x2y21(m0,n0,mn)kAMkBM?mn

接下来，咱们应用这两个结论去解决一些问题2

x2y练习1.(2013大纲全国，理8)椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的43取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(

)．

A．,

B．,

C．,1

D．,1

248424

13331333133k1k2k1,k2[2,1]k1[,]44k284

练习2.(2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于

．

+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，kOMkABb21b21a2c22

22e2a2a2a2利用这个结论快速而准确的解决了，所以重要结论记心中，快速解题好轻松

下面请看两道压轴题

x2y2例1.(2011年高考数学江苏卷第18题)在平面直角坐标系xoy中，M,N分别是椭圆1的顶点，过坐标原42点的直线交椭圆于P,A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．

(1)、(2)略；

（3）对任意k0，求证：PAPB.

(4)（2013年北京理22改编）已知D,E,F是椭圆上的三个点，O是坐标原点．判断四边形ODEF是否可能为菱形，并说明理由. 1证明：由题意可设点P(x0,y0),A(x0,y0).记直线BA,BP的斜率为k1,k2,由结论得k1k2,因为C（x0,0),所以2

yxyk10,则k20,又k0,故kk21,从而PAPB.2xoy0x0

假设OABC可为菱形kOBkAC

b212a2b2

a1x2x2y22(3,).

例2.(本学期二调理21题)已知椭圆与双曲线共焦点，且过点y121(ab0)222abx2y21

（1）

(略)求椭圆的方程；4（2）

设坐标原点O,过椭圆右焦点的直线l交椭圆于A、B两点，若椭圆上点E与线段AB的中点N满足OE2ON，求弦长AB。

设N(x0,y0),E(2x0,2y0)

3y0y01x03

2x0x034x0x0(x03)0y6x024y02106当N(362

,),kAB3646yyx2231223

12y46y10x24y24yy11212AB9213

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