1.4.3 含有一个量词的命题的否定教学活动设计方案

1.4.3 含有一个量词的命题的否定(第一课时)教学设计

广灵一中 魏丙英

教学目标：

1．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

2．理解全称命题与特称命题之间的关系，并能进行应用。

学法指导：

要正确地对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定，我们一方面要充分理解量词的含义，另一方面应充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系．

通过探究观察，总结规律，容易得到全称命题的否定是特称命题，以及特称命题的否定是全称命题的结论. 教学重点与难点：

1、重点是理解全称命题与特称命题之间的关系

2、难点是能正确写出含有一个量词的命题的否定

教学方法：

精讲法

教学过程：

一、本节知识要点：

1．全称命题的否定：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定非p：________________. 2．特称命题的否定：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定非p：________________. 3．全称命题的否定是________命题．

特定命题的否定是________命题. 二、新课讲授

探究点一

全称命题的否定

问题1 我们在上一节中学习过逻辑联结词“非”．对给定的命题p，如何得到命题p的否定(或¬p)，它们的真假性之间有何联系？

答案

对命题p全盘否定，可得到命题¬p，命题p和¬p的真假性相反．

问题2 你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案(1)存在一个矩形不是平行四边形；

( 2)存在一个素数不是奇数

(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. 原来的三个命题都是全称命题，它们的否定是特称命题．

结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，

它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，

全称命题的否定是特称命题．

例1 写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 解

(1) ¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．

(2) ¬p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

(3) ¬p：∃x0∈Z，x的个位数字等于3. 小结

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪训练1 写出下列命题的否定：

(1)三个给定产品都是次品；

(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解

(1)是全称命题，其否定：三个给定产品中至少有一个是正品．

(2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一．

(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 探究点二

特称命题的否定

问题

你能写出下列特称命题的否定吗？

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0∈R，x＋1<0. 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？

答案

(1)所有实数的绝对值都不是正数；

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

已知的三个命题是特称命题，它们的否定是全称命题．

结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，

它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．

特称命题的否定是全称命题．

例2 写出下列特称命题的否定：

(1)p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有一个素数含三个正因数．

解

(1) ¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0. (2) ¬p：所有的三角形都不是等边三角形．

(3) ¬p：每一个素数都不含三个正因数．

小结

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒¬p：∀x∈M，¬p(x)成立．

跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假．

(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n∈N，使Sn<0. 解

(1) ¬p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假) (2) ¬p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，Sn≥0.(假) 三、课堂练习：

1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是

(

) A．不存在x0∈R，x－x＋1≤0

B．存在x0∈R，x－x＋1≥0

C．存在x0∈R，x－x＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0 2．对下列命题的否定说法错误的是

(

) A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形

C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形

D．p：∃x∈R，x2＋x＋2≤0；¬p：∀x∈R，x2＋x＋2>0 3．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是

____________________________________．

4．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________．

四、课堂小结：

对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．

(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 五、课后作业：见课本