1.2.1 充要条件第二课时教案

高中数学教案

第一章

集合与简易逻辑（第18课时）

王新敞

课

题：1.8 教学目的：

充分条件与必要条件（一）

1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用

2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．

这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．

关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．

教学过程：

一、复习引入：

同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件. 二、讲解新课：

⒈符号“”的含义

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. 新疆奎屯市一中

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符号“”叫做推断符号. 例如，“若x>0，则x>0”是一个真命题，可写成：x>0 x>0；

又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：22两三角形全等两三角形面积相等. 说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”. ⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”. 练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴；⑵；⑶；⑷. ⒉什么是充分条件？什么是必要条件？

如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 在上面是两个例子中，“x>0”是“x>0”的充分条件，“x>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件. ⒊充分条件与必要条件的判断

1.直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

三、范例

例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

22⑴ p：x=y；q：x=y. ⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 22解：⑴由pq，即x=yx=y，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；

⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；

⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. ⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果新疆奎屯市一中

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由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 2.利用逆否命题判断：即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. 例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：

⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件. ⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件. 解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色B为绿色”是真的，∴由定义知，“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵如图2⑴，∵“红点在B内红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A不为绿色”. ∵“B不为绿色

 A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件. ⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件. 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明. 先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即pq）的形式. 再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q┐p）的形式. 总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学新疆奎屯市一中

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定义为依据. 例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 四、练习：

（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

充分

条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的

必要

条件；

⒊“x3”是“|x|3”的

充分

条件；

2⒋“x-1=0”是“x-1=0”的

充分

条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

充分

条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

22⒎对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有两个正根”的

必要

条件；

⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的

充分

条件；

⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的

必要

条件；

⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的

充分

条件.

五、小结：

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是：

若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；

若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. 六、作业：

1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容. 2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？

解：由题意作出逻辑图（右图），便知，

D是A的必要条件；A是B的充分条件. 3．预习：课本P35-36内容.

七、板书设计（略）

八、课后记：

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