8.2 消元——二元一次方程组的解法ppt配用优秀教学设计

第课时

掌握用加减法解二元一次方程组.

使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法.

体验学习数学的乐趣,在探索过程中品尝成功的喜悦,树立学好数学的信心.

【重点】

用加减法解二元一次方程组.

【难点】

学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍的二元一次方程组.

【教师准备】

教材例题板书展示.

【学生准备】

回顾总结代入法解二元一次方程组的过程.

导入一:

王阿姨在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元,李阿姨以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元,梨每千克的售价是多少?比一比看谁求得快.

[设计意图]

学生可能会有多种办法解决此问题,各种方法中比较简单的是:抵消掉相同部分,王阿姨比李阿姨多买了1千克梨,多花了2元,故梨每千克的售价为2元.问题解决过程中蕴含了加减消元思想.

导入二:

-

解方程组:

-

[设计意图]

学生在解上述方程组的过程中,首先会想到先前学习的“代入法”,领悟能力比较强的同学可能用“6y”整体代入的方式比较简单地解方程组,但这仍然是“代入法”的范畴.在学生做完这个习题后,老师可根据学生的解题情况,提出一种新的解方程组的思路.

[过渡语]

除了代入法之外,还有没有别的解方程组的方法呢?接下来我们就学习一种新的解方程组的方法——加减消元法.

思路一

一、加减消元法

(1)提出问题:

不用代入法,怎样解下面的方程组?

(2)分析问题:

在这个方程组中,两个方程中y的系数都是1,可以依据等式的性质,通过

-

消去未知数y,得x=6.随后把x=6代入方程

或

,进而求出方程组的解.

(3)问题延伸:

-

也能消去未知数y,求得x吗?

提示:仍然能求出x,但比前面的做法略麻烦.

-

得- x=- 6.所以x=6.把x=6代入

,得y=4.所以原方

程组的解为

(4)方法思考:

联系上面的解法想一想怎样解方程组

-

解: + 得18x=10.8,解得

x=

,把

x=

代入

,得

y= ,所以原方程组的解为

(5)方法总结:

从上面两个方程组的解法可以看出:当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时,把这两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程.这种方法叫做加减消元法,简称加减法.

二、例题讲解

(教材P95例3)用加减法解方程组

-

〔解析〕

这两个方程中没有同一个未知数的系数互为相反数或相等,直接加减这两个方程不能消元.我们对方程变形,使得这两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等.本题的相同未知数系数没有成整数倍数的关系,这就需要采取方程两边同时乘以一个数的办法,转化为同一未知数系数互为相反数或相等的方程组.

解: ×3,得9x+12y=48.③

×2,得10x- 12y=66.④

③+④,得19x=114,x=6.把x=6代入

,得

3×6+4y=16,4y=- 2,y=- .所以这个方程组的解是

追问(1):在上面的解方程组的过程中,把x=6代入

可以解得y吗?

提示:可以.解法如下:把x=6代入

,得5×6- 6y=33,解得y=- .所以这个方程组的解是

追问(2):如果用加减法消去x应如何解?解得的结果一样吗?

提示:一样.解法如下: ×5,得15x+20y=80.③

×3,得15x- 18y=99.④

③- ④,得38y=- 19,即y=-

.把

y=-

代入

,得3x- 2=16,即x=6,所以原方程组的解是

可见,所解得的结果是一样的.

[知识拓展]

1.当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相等或互为相反数时,用加减消元法来解比较简便.

2.若两个方程中同一个未知数的系数成整数倍数关系,则可利用等式的性质将其转化,选择加减消元法求解.

3.若两个方程中的同一个未知数的系数的绝对值都不相等,则应选一组系数(一般选绝对值的最小公倍数较小的一组系数),求出其绝对值的最小公倍数,然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等,再用加减消元法求解.

思路二

解方程组

-

1.代入法解方程组.

[设计意图]

学生已经学习了这种解法,交给学生自己完成,帮助学生复习旧知识,领悟代入法解方程组的实质,提高解题的熟练程度.

展示与评价:

解法1:由

得x=- - ,把

x=- - 代入方程

,消去

x……

解法2:把2x看作一个整体,由

得2x=- 1- 3y,把2x=- 1- 3y代入方程

,消去2x……

解法2整体代入更简便,准确率更高.

2.加减法解方程组.

[过渡语]

有没有更简洁的解法呢?

(1)初步领悟.

问题1 观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?

(相等.)

问题2 除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?

(两个方程的两边分别对应相减,即可消去x,得到一个一元一次方程.)

[设计意图]

使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组,并在体会“代入法”存在不足的同时,感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性,并掌握“加减法”.

解法3:

-

得8y=- 8,所以y=- 1,把y=- 1代入

或

,得x=1.所以原方程组的解为

(2)加法解方程组.

-

解方程组

-

问题1 观察上述方程组,未知数x的系数有什么特点?

(互为相反数.)

问题2 除了代入消元,你还有别的办法消去x吗?

(两个方程的两边分别对应相加,即可消去x,得到一个一元一次方程.)

(3)减法解方程组.

解方程组

-

问题1 这两个方程直接相加减能消去未知数吗?为什么?

问题2 怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢?

[处理方式]

启发学生仔细观察方程组的结构特点,发现x的系数成整数倍数关系.因此: ×2,得4x- 10y=14③.由

- ③即可消去x,从而使问题得解.从上面的解答过程来看,对于某些二元一次方程组,可通过两个方程两边分别相加或相减消去其中一个未知数,得到一个一元一次方程,从而求出它的解.这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

1.当二元一次方程组的两个方程中(包括转化后)同一未知数的系数互为相反数或相等时,把两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.

2.用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等,且不成整数倍数关系的二元一次方程组时,把一个(或两个)方程的两边同时乘以适当的数,使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等,从而求解.

1.二元一次方程组

的解是

(

)

-

A.

B.

C.

D.

解析:先将两个方程相加(减)消去一个未知数转化为一元一次方程,求出这个一元一次方程的解,再将这个解代入方程组中的一个方程求出另一个未知数的值.也可以根据方程组解的定义去检验.经解或检验知选项B正确.故选B.

2.(2014·襄阳中考)若方程mx+ny=6的两个解是

和

则m,n的值为

(

)

A.4,2 B.2,4 C.- 4,- 2 D.- 2,- 4

解析:将

分别代入mx+ny=6中,得

+ 得:3m=12,即m=4,将m=4代入

-

得:n=2.故选A.

-

3.解方程组:

解: + ,得x=5,

- ×3,得y=1.原方程组的解为

一、教材作业

【必做题】教材第98页习题8.2第3题(1)和(2).【选做题】教材第98页习题8.2第3题(3)和(4).

二、课后作业

【基础巩固】

1.方程组

的解是

-

(

)

D.

A.

B.

C.

2.方程组:

由

-

,得正确的方程是

(

)

A.3x=10 B.x=5C.3x=- 5 D.x=- 5

3.已知方程组

则x+y的值为

(

)

A.- 1 B.0 C.2 D.3

-

4.方程组

的解是

. 5.解方程组

-

【能力提升】

-

6.二元一次方程组

的解是

A.

B.

C.

D.

(

)

-

7.用加减法解方程组

下列解法不正确的是

(

)

-

A. ×3- ×2,消去xB. ×2- ×3,消去yC. ×(- 3)+ ×2,消去xD. ×2- ×(- 3),消去y

-

8.已知二元一次方程组

则m+n的值是

-

A.1 B.0 C.- 2 9.设实数x,yD.- 1

-

则满足方程组

(

)

x+y=

.

10.用加减法解方程组.

(1)

(2)

-

【拓展探究】

-

的解为

11.已知关于x,y的方程组

求m,n的值.

解方程组

解方程组

-

-

-