利用完全平方差公式进行因式分解教学实录与评析

教学目标

1.知识与技能:学生经历通过完全平方公式逆向得到分解因式公式的过程,理解和掌握完全平方公式的特点,学会运用完全平方公式分解因式。

2.过程与方法:

① 学生经历动手操作、合作探究、合作学习的过程。

② 在学习过程中,学生的观察、分析和创新能力,逆向思维的能力和数学应用意识不断提升,感受数学中的整体思想和化归思想。

3.情感态度价值观:感受整式乘法与因式分解矛盾的对立统一观点;学生在合作学习的过程中体现成功的喜悦和勇于探索的精神;感受数学的美。

2学情分析

学生已有七年级下所学习的整式运算的基础知识,在前几节中已经学习了分解因式的定义,提公因式法分解因式及用平方差公式分解因式,初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系,并且学生已经经历了探索并运用平方差公式分解因式的过程,所以在由(a+b)²=a²+2ab+b²逆向变形得到分析因式公式a²±2ab+b²=(a±b) ²时就较为容易了。但准确理解完全平方式的结构特点及灵活应用该公式分解因式是难点,所以应进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力,发展学生有条理地思考及表述能力。

3重点难点

教学重点:了解完全平方式的特点,会运用完全平方公式分解因式。

教学难点:准确理解和掌握完全平方式的特点,灵活运用公式法(完全平法公式、平方差公式)分解因式。

4教学过程

4.1 第一学时

4.1.1教学活动

活动1【导入】复习导入

复习分解因式的定义(引导学生自己回答):将一个多项式写成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。

已学分解因式的方法——提公因式法和平方差公式法。

【环节解释及设计意图】 此处应强调定义中分解因式的对象是多项式,分解因式的结果是几个因式的积,且每个因式的次数都低于原多项式的次数。

活动2【讲授】新课讲授

第二环节:导入阶段:

准备四张矩形纸片,请两名同学到黑板

上用它们拼一个大的正方形,引导学生用两

种不同的表示方法表示大正方形的面积,得

到公式a²+2ab+b²=(a+b)²用“-b”代替公式中

的“b”,得到a²-2ab+b²=(a-b)²这两个公式左边

都是一个多项式,右边都是整式的积的形式,符合

分解因式的定义,这就是我们今天要学的主要内容。

(板书课题)

【环节解释及设计意图】 通过拼图引出课题,集中学生思维兴奋点,激发学习动机,加深对公式的理解,同时发展学生的探究意识。同时交待一些代数公式的几何背景本身就是一种很重要的数学公式教学方法。

第三环节:新课阶段:

深入探究公式:

引导学生自己分析公式左边的特点:有三项;其中两项是两数(式)的平方;第三项是这两数(式)的积的2倍,符号可正可负。把形如a²±2ab+b²的式子叫完全平方式,可以用完全平方公式分解因式(板书)。

例1 判断下列多项式是不是完全平方式,若是,请分解因式

1. x2+12x+36 2. -2xy+x2+y2 3. x2-4xy-4y2 4. (x+y)2-6(x+y)+9

【环节解释及设计意图】

对公式的深入研究有助于更好地掌握公式的本质,使学生意识到公式中的a、b可以是数、单项式或多项式。公式的本质掌握了,才能灵活运用。

2.夯实基础:

例2 分解因式

1. 9a2b2+6ab+1 2. 4-12(x-y)+9(x-y)2 3. x6-10x3+25

【环节解释及设计意图】 运用完全平方式分解因式的关键是确定公式中的a和b,而只有先找到两个平方才能进一步确定a和b。

例3

分解因式

1. 3ax2+6axy+3ay2 2. -x2-4y2+4xy 3. (x+y)x2+2xy(x+y)+y2(x+y)

【环节解释及设计意图】 分解因式时如果有公因式,首先提取公因式,然后想到用公式。两项想到平方差,三项想到(完)全平方,结果如果有同底数幂,一定要乘起来。

例4

分解因式

1. a2+b2-2ab - 4(a-b)+4 2. 9(a+2b)2- 30a- 60b+25 3. x4+x2 +1

【环节解释及设计意图】

例4主要是一些复杂的多项式,整体上不是完全平方式,可以考虑局部变形,构造完全平方式,通过这些例题,学生达到知觉水平上的运用,促使学生对完全平方公式的灵活运用。

活动3【活动】合作编题

生生互动:

两人一组,编题互答。编两道分解因式题,分别满足:

(1).要用到提公因式法和完全平方公式。

(2).要用到平方差公式和完全平方公式。题目编制完后请另外一个小组的同学解答。

【环节解释及设计意图】

学以致用是学习数学的最终目标。这一环节完全放手让学生自主进行,充分暴露学生的思维过程,展现学生主动活泼,主动求知和富有个性,真正实现了新课标提倡的“不同的学生在数学上有不同的发展”,学生真正成为学习的主体,是本节课的高潮。

活动4【练习】学以致用

巧解妙算: 看谁做得快(口答)

(1) 20022-4×2002+4

(2) 1.23452+0.76552+2.469 × 0.7655

(3) 20062-4010×2006+20052

【环节解释及设计意图】

让学生体会到完全平方公式法分解因式在数学学习中的巨大作用,使学生能够用一种积极的心态去接受知识。

活动5【测试】随堂测试

随堂测试:分解因式

(1)x2y2-6xy+9

(2)-a+2a2-a3

(3)a4-8a2b2+16b4

(4)(x2+5x)(x2+5x+2)+1

【环节解释及设计意图】及时的学习效果评价是数学教学的重要环节。随堂测试可以及时发现学生学习的漏洞,教师可以有的放矢地调整教学节奏,并在作业环节加强学生的薄弱环节。

活动6【作业】小结及作业

小结阶段:

(大屏幕显示小结提纲)

(1) 这节课我的收获是

(2) 我想进一步研究的问题是

并将授课内容以及分解因式的主要思路编成口诀:

首先提取公因式,然后想到用公式。

两项想到平方差,然后立方和与差。

三项考虑全平方,十字相乘不能忘。

添项拆项试一试,整体换元功能强。

【环节解释及设计意图】

开放式的小结

不但可以复习本节课的主要知识点、方法、技巧,还可以进一步激活学生深入学习分解因式方法的热情,学生的数学学习由课内延伸到课外。

作业

《八年级数学学案》本节课练习。