7.4 课题学习　镶嵌 优秀课堂实录

平面镶嵌教学设计

学科:数学

教师：李颖

授课年级：

初一

作者单位：昌平五中

一、教材依据：

本节课的内容是人教版义务教育课程标准中学数学实验教科书中第7章的课题学习。本节课的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教材背景是学生刚学完的正多边形知识。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。在教师的指导下，让学生通过自主实践、互助学***面镶嵌的定义、意义、条件、作用、方法，从而使学生进一步理解正多边形在实践中的应用。使学生在参与探究性活动中获得直接体验，在拓展其知识面的同时让其发现并感受数学中的美，激发他们的参与意识、创新意识和创新思维。

二、设计思想：

1.学生情况分析: 初一的学生思维活跃，已具备了一定的探究能力和小组合作意识，但他们的抽象思维能力的发展水平还不高，空间想象力还不够丰富，本节课将运用课件帮助学生建立平面镶嵌概念。

2. 教学方式与教学手段：

基于新课标下要求全面达成三维教学目标以及对自主学习、合作学习、探究学习三种学习方式的有机整合，本人设计五环节教学方法，

课前

课中

自主预习

提出问题

导入新课

作探合究学习

课后

小结评价

巩固拓展

三、

教学目标：

1、知识技能：学生通过探索平面图形的镶嵌，知道正三角形、正方形、正六边形或任意三角形、任意四边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计

2、数学思考：

（1）、学生通过拼图、收集整理数据、推理等活动探索用一种及多种正多边形进行平面镶嵌的规律,发展合情推理能力，并能有条理地清晰地阐述自己的观点。

（2）、由正多边形镶嵌到一般三角形、四边形镶嵌让学生体会由特殊到一般的认识问题的方法。

（3）、丰富对现实图形的认识，发展形象思维

3、解决问题：在教师指导下，从日常生活或动手操作过程中发现并提出数学问题并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。

4、情感态度：

（1）、在探索活动过程中，培养学生的合作交流意识和一定的审美感，使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用。

（2）、在探索性活动中开发、培养学生的创造性思维，使其理论联系实际。

四、教学重点：多边形镶嵌的条件

五、教学难点：运用多边形进行简单的镶嵌设计

六、教学准备：

1．技术准备：

因为本节课的操作性较强所以信息技术不作为简单的教学演示工具，而是作为教师和学生探索神奇的数学世界，表达各种数学思维，获取大量相关资料的工具。我利用简单方便的POWERPOINT和几何画板制作了课件,让学生动手操作突破课堂教学难点。本节课是一堂探索活动课，在设计上体现出数学实验与论证的有机结合，体现知识的发生、形成和发展的整个过程。教学中提供精心设计的数学实验设备，让学生积极参与到数学实验活动中；提供大量资源来拓宽学生知识面，培养多种能力、全面提高素质。

2．教学状况、问题、对策等研究说明:

数学知识的发生、发展离不开数学实践，其中实验性的数学实践对于学生的数学知识的形成尤为重要。因此我恰当地使用信息技术设计了这样一个动手、动脑的操作实验，让学生在一种浓厚的科学研究气氛中体验数学、发现数学。在进行一种正多边形镶嵌时，学生在动手操作中就存在一定的盲目性，但由于问题较为简单，因而也能较快地得到答案。但对于实验几种正多边形镶嵌，如果只是碰

运气地乱试一通，是很难得到较多结论的，这就迫使学生在动手的同时还要动脑，思考应当如何恰当地组合几种正多边形，才能进行平面镶嵌。

七、教学过程：

活动流程图

活动1 现实举例，引发思考，引入概念

活动2 探索一种正多边形镶嵌的规律

活动3 动手操作任意三角形、四边形镶嵌

活动4 对两种以上正多边形进行镶嵌设计

活动5 欣赏镶嵌图片

活动6 小结

活动内容和目的

从现实生活引入能激发学生求知欲

通过学生动手操作、提出问题、收集整理数据到找到一般规律，使学生感受数学的严谨性

学生通过对任意三角形、四边形进行镶嵌体会由特殊到一般的思考问题方法

通过对知识的综合运用体验解决问题的多样性，发展实践能力与创新精神

教师提供镶嵌图片，让学生充分体会到数学的美妙与有趣

小结这节课所学知识，达到巩固、发展、提高的目的

教学过程

问题与情境

活动1 平面镶嵌概念

师生行为

设计意图

(1)现实举例

我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板就能发现地板常用各种正多边形地砖铺设成美丽的图案

(2)引发思考

通过以上欣赏的图片你有什么数学问题提出？

（3）引入概念

活动2探索

学生欣赏图片

想一想：

铺设地板有什么要求

1、

砖与砖之间严丝合缝不留空隙

2、

砖与砖之间不能重合

教师介绍概念：

从数学角度看，这些工作就是用一些不重合摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用正多边形覆盖平面（或平面镶嵌）

的问题

从学生已有的社会经验出发引出课题，易于学生接受，学生会自觉思考平面镶嵌的条件，并在思考中发挥积极作用

用一种正多边形镶嵌

（1）动手操作

（2）发现问题

（3）填表并发现一般性规律

正三角形、正方形、正五边形正六边形哪些可以镶嵌

小组合作探究

教师深入小组参与活动，指导、倾听与学生交流。

学生小结：

只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌

通过以上活动你有什么数学问题提出？

其它正多边形是否可以镶嵌？有没有一般规律？

试一试：通过填表你有什么发现：

正多边形边数

正多边形

三

四

五

六

七

八

…

n 学生操作有利于培养学生动手能力

通过学生的实践活动发现并提出数学问题

通过填表发现一般性规律

外角度数

（4）结论

每一个内角度数

每一个外角度数

学生总结：一种正多边形镶嵌只有正三角形、正方形、正六边形可以

活动3任意三角形、四边形

镶嵌

任意三角形、四边形可以镶嵌

培养学生从特殊到一般的认识问题的方法

（1）我们研究了用一种特殊的正多边形进行镶嵌的规律，你还有什么问题吗？

（2）动手操作任意三角形、四边形镶嵌

（3）得出结论

从数学角度提出问题，理解问题，并能综合运用所学知识和技能解决问题

培养学生创新精神和实践能力

用几种正多边形能否镶嵌

1、拼接在一个顶点的各个角的和恰好等于360°

2、相邻多边形有公共顶点、公共边

活动4 多种正多边形进行镶

嵌

（1）我们研究了用一种几何图形镶嵌，你还有什么问题吗

（2）用几种正多边形镶嵌满足什么条件

（3）用几种正多边形进行镶嵌设计，看谁设计的最漂亮，

最有创意

活动5欣赏镶嵌图片

学生欣赏图片

让学生感受数学知识的美妙与有趣

活动6 小结 （1）

小结：

①你的课前问题解决了吗

②请同学们谈一谈本节课的收获和体会

（2）

布置作业：

设计一幅正多边形镶嵌的平面图案

教师重点关注：

（1）学生在学习中归纳、整理、总结习惯的养成

（2）学生是否愿意表达自己观点并尊重与理解他人见解能从交流中获益

教师及时了解学生对本节知识的掌握情况

教学流程图

收集数据结果

单一正多边形

镶嵌

任意三角形、四

边形镶嵌

提出问题

找到规律

两种以上正多

边形镶嵌

欣赏镶嵌图片

小组之间交流

得出结论

提问找到一般规律

提出问题

动手操作

概念引入

引出问题

转化为数学问题引入概念

现实举例

动手操作

学习效果评价设计

镶嵌学案

一、

预习

1、

2、

已解决的问题

未解决的问题

二、

新知

1、

2、

镶嵌定义 （1）试一式

通过计算完成下列表格，看看你有什么发现：

正多边形边数

三

四

五

六

七

八

…

n

正多边形外角度数

每一个外角度数

每一个内角度数

(2)结论 3、动手操作：

任意三角形可以镶嵌吗？ 任意四边形可以镶嵌吗？ 4、对两种以上正多边形进行镶嵌设计，看一看谁的设计最有新意。

三、课堂反馈：

（一）、填空：

1 、在作平面镶嵌时，设在某一个顶点处有 n 个角，则这个 n 个角的和为

_________________ 。 2 、用一种正 n 边形作平面镶嵌时， n 的值只可能是________________ 。

3、一般的，多边形覆盖平面需要满足的条件是

（1）拼接在同一个点的各个角的和恰好等于 （2）相邻的多边形有 4 、如果用正四边形和正八边形进行镶嵌，它的一个顶点周围有 ________ 个正四边形和 _____________ 个正八边。

（二）、判断

1、用同一种正三角形或正方形可以铺满地面，但是任意三角形、四边形不可以铺满地面（ ）

2、只有同一种图形才可以铺满地面，几种不同的图形不可铺满地面（

）

四、

小结

1、

2、

你的课前问题解决了吗？

谈一谈这节课的收获

教学反思：

采用的教学策略：

设置生活情境→让学生体验感受→小组合作展示交流→转化为数学问题→试一试找出一般规律→拓广、探索：欣赏镶嵌图案以及设计出各种铺法。

一、教学得意之处或遗憾之处：

1．事例描述

片段（一）

课前教师自制课件，用正三角形、正四边形、正五边形、正六边形地板砖铺设地面，看哪种地砖可铺满地面，课上学生小组展示、交流。

片段（二）

（1）、试一试：

通过计算完成下列表格，看看你有什么发现：

正多边形的边3 4 数

正多边形内角

和

正多边形每个

内角度数

（2）、为什么用相同的正多边形地砖铺地板只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用？你能找到一般性的规律吗？

（3）、推导公式，找出一般规律：

360=正整数

（n3）

(n2)180n5 6 7 8 9 10 11 12 ……

n

36042n2n442(n2)4n=360====2

(n2)180n2n2n2(n2)180n2n

所以n取3、4、6.

2.原因分析

片段（一）、 （1）、充分体现了新课标准，强调和生活实际联系，学习有用数学。

和身边实际生活联系用数学眼光，方法解决实际问题。 （2）、教师制作学具，很有操作性，有利于学困生的转化。 （3）、对于问题情境的设置可更加开放一些，再此基础上让学生观察生活中镶嵌问题。

片段（二）、 （1）、推导一般性规律培养学生思维严谨性，做到有理有据。

（2）、但公式变形复杂，用时过长，不利于学困生转化。

3. 解决对策

片段（一）、

数学知识的发生、发展离不开数学实践，其中实验性的数学实践对于学生的数学知识的形成尤为重要。因此我恰当地使用信息技术设计了这样一个动手、动脑的操作实验，让学生在一种浓厚的科学研究气氛中体验数学、发现数学。在进行一种正多边形镶嵌时，学生在动手操作中就存在一定的盲目性，但由于问题较为简单，因而也能较快地得到答案。但对于实验几种正多边形镶嵌，如果只是碰运气地乱试一通，是很难得到较多结论的，这就迫使学生在动手的同时还要动脑，思考应当如何恰当地组合几种正多边形，才能进行平面镶嵌。在小组活动中学生找到了多种拼接方法，锻炼了发散思维。

片段（二）、

数学家陈省身教授在北京大学的一次讲学中语惊四座“人们常说的三角形内角和是180度，但这是不对的！”大家愕然！这是怎么回事？三角形内角和是180度，这不是常识吗？接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：

说"三角形内角和为180度"不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说"三角形外角和是360度"! 把眼光盯住内角，只能看到：

三角形内角和是180度；

四边形内角和是360度；

五边形内角和是540度；

……

n边形内角和是(n-2)X180度。

就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。

如果看外角呢? 三角形的外角和是360度；

四边形的外角和是360度；

五边形的外角和是360度；

……

任意n边形外角和都是360度。

这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来了。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。

我们应一以不变应万变。用外角去推导一般性质规律，更有利于初一学生接受。

1.试一试：

通过计算完成下列表格，看看你有什么发现：

正多边形的边数

每一个正多边形内角

2.观察：

随着正多边形边数的增加每一个内度数变化趋势是_______，只有三角形、正四边形和正六边形每个内角的度数可以整除360度。

60

90

108

120

128.6

135

三

四

五

六

七

八

……

n ……

180360

n