等式的性质与方程的简单变形名师教学设计2

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6.2.1方程的简单变形（一）

知识技能目标

1.理解并掌握方程的两个变形规则；

2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；

3.运用方程的两个变形规则解简单的方程．

过程性目标

1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程；

2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移；

3.体会移项法则：移项后要变号．

课前准备

托盘天平，三个大砝码，几个小砝码．

教学过程

一、创设情境

同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．

小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量．

最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．

我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量．

二、探究归纳

请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量．

实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．

实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．

1

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实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．

上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？

方程是这样变形的：

方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变．

方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．

请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？

通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解．

三、实践应用

例1

解下列方程．

(1)x－5 = 7；

(2)4x = 3x－4．

分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x－5 = 7的两边同时加上5，即x

－5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解．

(2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x－4的两边同时减去3x，即4x－3x = 3x－3x－4,可求得方程的解．

即

x = 12．

即

x =－4 ．

像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition)．

注

(1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边．

(2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号．

例2

解下列方程：

31(1)－5x = 2；

(2)x

；

23分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x÷(－5x225)= 2÷(－5)(或)，也就是x =,可求得方程的解．

5552

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(2)利用方程的变形规律，在方程3132x的两边同除以或同乘以，即232333133212x(或x)，可求得方程的解．

22322333解

(1)方程两边都除以－5，得

2

x = ．

53(2)方程两边都除以，得

21312

x = ，

32332

即x = ．

92或解

方程两边同乘以，得

3122

x = ．

339注：1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1” .

2.上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x = a的形式．

例3下面是方程x + 3 = 8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？

(1)x + 3 = 8 = x = 8－3 = 5；

(2)x + 3 = 8，移项得x = 8 + 3，所以x = 11；

(3)x + 3 = 8移项得x = 8－3 ，

所以x = 5．

解

(1)这种解法是错的．变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等，所以解方程时不能连等；

(2)这种解法也是错误的，移项要变号；

(3)这种解法是正确的．

四、交流反思

本堂课我们通过实验得到了方程的变形规律：

(1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；

(2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．

通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骤：

(1)移项：通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边；

(2)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数（或同乘以未知数系数的倒数），得到x = a

的形式．

必须牢记：移项要变号！

五、检测反馈

1.判断下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正．

(1)9x = －4，得x = 35(2)x，得x = 1；

539；

43

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x0，得x = 2；

223(4)yy1，得y =；

55(5)3 + x = 5，得x = 5 + 3；

(6)3 = x－2，得x = －2－3 ．

2.（口答）求下列方程的解．

(1)x－6 = 6；

(2)7x = 6x－4；

11(3)－5x = 60；

(4)y．

423.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？

(1)从7 + x = 13，得到x = 13 + 7；

(2)从5x = 4x + 8，得到5x

- 4x = 8

4.用方程的变形解方程：44x + 64 = 328．

(3)

6.2.1方程的简单变形（二）

知识技能目标

1.运用方程的变形规律熟练解方程；

2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则． 过程性目标

通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法．

教学过程

一、创设情境

方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论：

(1)解方程的每一步的依据是什么？

(2)解方程应解到什么形式为止？

(3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？

二、探究归纳

解

2x = 1－3，………………移项；

2x = －2，………………合并同类项；

x = －1．………………未知数的系数化为1．

(1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3；

第二步的依据是合并同类项；

第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2．

(2)解方程应得到x = a

的形式．

(3)解方程的一般步骤是：

①移项；

②合并同类项；

4

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③系数化为1．

三、实践应用

例1

解下列方程，并能说出每一步的变形过程．

(1)8x = 2x－7 ；

(2)6 = 8 + 2x

；

11(3)2y

－ =y3

； 22(4)3y－2 = y + 1 + 6y．

解

(1)8x = 2x－7，

移项，得

8x－2x =－7，

合并同类项，得

6x = －7，

系数化为1，得

7x = －． 6(2)分析

本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程．

解

8 + 2x = 6，

移项

2x = 6－8，

合并同类项

2x = －2，

系数化为1 x = －1．

注意：(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8 + 2x放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变．

(2)也可考虑直接把含未知数的项2x移到方程的左边，然后再解方程．

或解

6 = 8 + 2x，

移项

－ 2x = 8 － 6，

合并同类项 － 2x =2，

系数化为1

x = －1．

或解

6 = 8 + 2x，

移项

6－8 = 2x，

合并同类项

－2 = 2x，

即

2x = －2，

系数化为1 x =－1．

以上三种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的5

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方法．

(3)

2y

－11 =y3

22移项

112y－y=－3 + ，

22合并同类项

35y= －，

22系数化为1

5352y = －÷= －×，

22235即

y = －．

3

注

将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数．

思考：这个方程还有其他的解法吗？能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数？并比较哪种方法更好？

(4)3y－2 = y + 1 + 6y，

合并同类项

3y－2 = 7y + 1，

移项

3y－7y = 1 + 2，

合并同类项

－4y = 3，

系数化为1 13y = 3÷(－4) = 3 ×(－) =－

．

44通过上面的解方程，想一想，你能选择解方程的步骤了吗？

例2

解下列方程，并按例1的解题格式书写解题过程．

(1)2x:3 = 6:5；

(2)1.3x +1.2－2x =1.2－2.7x ．

分析

把方程中的比先化为分数，再解方程．

解

(1) 2x:3 = 6:5，

2x6=，

35系数化为1 62624x =÷= ×= ．

53535(2)

1.3x + 1.2－2x =1.2－2.7x，

移项

1.3x－2x + 2.7x = 1.2－1.2，

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合并同类项

2x = 0，

系数化为1 x = 0÷2 = 0．

例3

已知y1 = 3x + 2，y2 = 4－x．当x取何值时，y1与

y2互为相反数？

分析

y1与

y2互为相反数，即y1+ y2 = 0．本题就转化为求方程3x + 2 + 4－x = 0的解．

解

由题意得：3x + 2 + 4－x = 0，

3x－x = －4－2，

x = －3．

所以当x = －3时，y1与

y2互为相反数．

四、交流反思

1.解方程的一般步骤为：

(1)移项；

(2)合并同类项；

(3)系数化为1．

2.方程解的结果是化为x = a的形式．

3.移项时要注意改变符号．

4.将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数．

五、检测反馈

1.解下列方程，并写出每步变形的依据．

(1)3x + 4 = 0；

(2)7y + 6 = －y；

2111(3)x8－0.2x；

(4)1－xx．

54232.解下列方程：

(1)3x－7 + 4x = 6x－2；

(2)10y + 5 = 11y－5－2y

；

31(3)a－1 = 5 + 2a；

(4)x23x；

44111(5)5x12x1；

(6)x35x．

3243.已知y1 = 3x + 2，y2 = 4－x．

(1)当x取何值时，y1 = y2？

(2)当x取何值时，y1比

y2大4?

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