6.2 坐标方法的简单应用全国优秀课堂实录

7．2.2 用坐标表示平移

学习目标：

1．掌握用坐标表示点的平移的规律；(重点) 2．了解并掌握用坐标表示图形平移的规律与方法．(难点) 探究点一：点在坐标系中的平移

例1：平面直角坐标系中，将点A(－3，－5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为(

) A．(1，－8) B．(1，－2) C．(－6，－1) D．(0，－1) 解析：利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解．点A的坐标为(－3，－5)，将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6，－1)．故选C. 方法总结：本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．

练一练：在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是( ) A．(2，5) B．(－8，5) C．(－8，－1) D．(2，－1) 探究点二：图形在坐标系中的平移

【类型一】

根据平移求对应点的坐标

例2：如图，把△ABC经过一定的平移变换得到△A′B′C′，

如果△ABC边上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在

△A′B′C′中的对应点P′的坐标为(

) A．(a＋6，b－2) B．(a＋6，b＋2) C．(－a＋6，－b) D．(－a＋6，b＋2) 解析：根据已知三对对应点的坐标，得出变换规律，再让点P的坐标也做相应变化．∵A(－3，－2)，B(－2，0)，C(－1，－3)，A′(3，0)，B′(4，2)，C′(5，－1)，∴△ABC向右平移6个单位，向上平移2个单位得到△A′B′C′.∵△ABC边上点P的坐标为(a，b)，∴点P变换后的对应点P′的坐标为(a＋6，b＋2)．故选B. 方法总结：坐标系中图形上所有点的平移变化规律是一致的，解决此类问题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的平移变化规律．

练一练：已知三角形ABC，若将三角形ABC平移后，得到三角形A′B′C′，且点A(1，0)的对应点A′的坐标是(－1，0)，则三角形ABC是向__平移__个单位得到三角形A′B′C′. 【类型二】

平移作图

例3：如图，在平面直角坐标系中，P(a，b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后

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点P的对应点为P1(a＋6，b＋2)．

(1)请画出上述平移后的△A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标；

(2)求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积．

解析：(1)横坐标加6，纵坐标加2，说明向右移动了6个单位，

向上平移了2个单位；(2)以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面

积可分割为以AC1为底的2个三角形的面积．

解：(1)△A1B1C1如图所示，各点的坐标分别为A(－3，2)、

C(－2，0)、A1(3，4)、C1(4，2)；

11(2)如图，连接AA1、CC1.S△AC1A1＝×7×2＝7，S△AC1C＝×7 22×2＝7，故S四边形ACC1A1＝S△AC1A1＋S△AC1C＝7＋7＝14. 方法总结：坐标系中图形平移的坐标变化规律为：左右移动改变点的

横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．求四边形的

面积通常转化为求几个三角形的面积的和．

如图，三角形ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点

P1（x0+5，y0+3）．将三角形ABC作同样的平移得到三角形

A1B1C1．

（1）画出△A1B1C1；（2）求A1，B1，C1的坐标；

（3）求△A1B1C1的面积．

探究点三：平面坐标系中点及图形平移的规律探究

例4：如图，一个动点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第1秒钟，

它从原点运动到(1，0)，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0，0) →(1，0)→(1，1)→(0，1)→…，且每秒移动一个单位，那么第2019 秒时动点所在位置的坐标是________．

解析：方法一：动点运动的规律：

(0，0)，动点运动了0秒；

(1，1)，动点运动了1×2＝2(秒)，接着向左运动；

(2，2)，动点运动了2×3＝6(秒)，接着向下运动；

(3，3)，动点运动了3×4＝12(秒)，接着向左运动；

(4，4)，动点运动了4×5＝20(秒)，接着向下运动；

…

于是会出现：(44，44)，动点运动了44×45＝1980(秒)，接着动点向下运动，而2019－1980＝39，故动点的位置为(44，44－39)，即(44，5)．

方法二：由题目可以知道，动点运动的速度是每秒钟运动一个单位长度，(0，0)→(1，0)→(1，1)→(0，1)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(0，2)用4

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秒，到(2，2)用6秒，到(2，0)用8秒，到(3，0)用9秒，到(3，3)用12秒，到(0，4)用16秒，依次类推，到(5，5)用30秒．由上面的结论，我们可以得到的第一象限角平分线上的点从(0，0)到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，则由(n，n)到(n＋1，n＋1)所用时间增加(2n＋2)秒，这样可以先确定第2019秒时动点所在的正方形，然后就可以进一步推得点的坐标是(44，5)．

方法三：该动点每一次从一个轴走到另一个轴所走的步数要比上一次多走一横步，多走一竖步，共多走两步．

从(0，0)点走到(0，1)点共要3步，从(0，1)点走到(2，0)点共5步……当n为偶数时，从(0，n－1)点到(n，0)点共走(2n＋1)步；当n为奇数时，从(n－1，0)点到(0，n)点共走(2n＋1)步，这里n＝1，2，3，4，…. ∵3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)＝(n＋1)2－1，∴当n＝44时，n(n＋2)＝(n＋1)2－1＝452－1＝2024，离2019最近，此时n为偶数，即该过程是从(0，43)到(44，0)的过程.2024－2019＝5，即从(44，0)向上“退”5步即可．当到2011秒时动点所在的位置为(44，5)．故答案为(44，5)．

方法总结：此类归纳探索猜想型问题的解题关键是总结规律，由特殊到一般的归纳思想来确定点所在的大致位置，进而确定该点的坐标．

练一练：一个质点P在第一象限及坐标轴上运动，在第1秒钟，从原点运动到（0，1），然后按箭头的方向运动[即：（0，0）→（0，1）→（1，1）→

（1，0）→…]，每秒移动一个单位，则点P运动到（7，7）位置

时共运动了____秒．

7．2.1 用坐标表示地理位置

学习目标：

1．掌握建立适当的坐标系描述地理位置的方法；(重点) 2．了解用方位和距离表示地理位置的方法．(难点) 探究点一：用坐标表示地理位置

【类型一】

已知两个位置的坐标，求另外点的坐标

例1：中国象棋棋盘中隐藏着直角坐标系，如图是中国象棋棋盘

的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：

图中“马”所在的位置可以直接走到B，A等处．

(1)若“马”的位置在点C处，为了到达点D，请按“马”走的规则，在图

中用虚线画出一种你认为合理的行走路线；

(2)如果图中“马”位于(1，－2)上，试写出A，B，C，D四点的坐标．

解析：(1)根据马走“日”字，即可确定马的行走路线，有两种走法；

(2)根据“马”位于(1，－2)上，可确定(0，0)的位置，进而可确定A，B，C，D四点的坐标．

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解：(1)如图所示；

(2)建立如图所示的坐标系，则A，B，C，D四点的坐标分别为

A(3，－1)，B(2，0)，C(6，2)，D(7，－1)．

方法总结：解决此类问题的方法一般是先由已知点所表示的

有序数对来确定(0，0)的位置，再由(0，0)的位置来确定所求点相对(0，0)的位置．

【类型二】

建立坐标系表示地理位置

例2：在某城市中，体育馆在火车站以西4000m再往北2000m 处，华侨宾馆在火车站以西3000m再往南2000m处，百佳超市

在火车站以南3000m再往东2000m处，请建立适当的平面直角

坐标系，分别写出各地的坐标．

解析：根据题中叙述，体育馆、华侨宾馆、百佳超市都是以

火车站为中心描述位置的，于是可以以火车站为原点，正东方

向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系．

解：如图，以火车站为原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向

为y轴正方向，建立平面直角坐标系．各地的坐标分别为：火车站

(0，0)，体育馆(－4000，2000)，华侨宾馆(－3000，－2000)，百佳超市(2000，－3000)．

方法总结：在建立直角坐标系表示给定的点或图形的位置时，一般应选择适当的点作为原点，适当的距离为单位长度，这样往往有助于表示和解决有关问题．

探究点二：用方位角和距离表示地理位置

例3：如图是小明家O和学校A所在地的简单地图．已知OA＝

2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．

回答下列问题：

(1)图中距小明家距离相同的是哪些地方？

(2)商场B、学校A、公园C、停车场P分别在小明家的什么方向？

(3)若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？

解析：由图分析A，B，C，P四点到点O的距离，即可得出(1)的答案；由方位角的概念，可得(2)的答案；由题意可得比例尺，进而可得(3)的答案．

解：(1)图中距小明家距离相同的是A与C；

(2) B在小明家的北偏西30°方向； A在小明家的东北方向； C、P在小明家的南偏东60°方向；

(3)学校距离小明家400m，而OA＝2cm，故比例尺为1∶20000.故商场距离小明家2.5×20000÷100＝500(m)；停车场距离小明家4×20000÷100＝800(m)．

方法总结：这种表示位置的方法是通过两个数据来确定的：一是方位角(角的大小)；二是距离(距观察点的距离)．

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