等腰三角形的判定与反证法教学教案设计

第一章 三角形的证明

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

一、学情分析

本节课是等腰三角形的第三课时，通过前面两课时的学习，学生已经掌握了等腰三角形的相关性质，并知道了用综合法证明命题的基本要求和步骤。为学习等腰三角形的判定定理奠定了知识和方法的基础。

二、教学目标设计

1.知识与技能

（1）探索等腰三角形判定定理；

（2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明；

（3）了解反证法的基本证明思路，并能简单应用. 2.过程与方法

（1）经过观察、探究发现等腰三角形的判定方法，再证明其成立；

（2）形成解决问题的一些基本方法，认识证明是说明一个结论的成立. 3.情感、态度与价值观

（1）通过对等腰三角形判定方法的应用，得到一些结论，使学生乐于观察生活，乐于学习，乐于探索，养成用数学的思维思考问题的习惯；

（2）在活动中体会合作交流的重要性，增强主人翁及团结的意识. 二、教学重难点设计

1.教学重点：等腰三角形判定定理的证明与应用；

2.教学难点：运用反证法证明一些问题. 三、教学过程设计

1.复习引入

问题1：等腰三角形的定义是什么？它有哪些性质定理及推论？

答：定义：至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

定理及推论：①等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)；②等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“三线合一”).

问题2：

等腰三角形的“等边对等角”的条件和结论分别是什么？

答：条件：一个三角形是等腰三角形；结论：这个三角形相等的两条边所对应的角相等. 追问：如果我们把定理的条件和结论反过来还成立么？如果成立，你能证明吗？

2.新课讲授

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探究一：等腰三角形的判定

问题3：证明：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 答：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C

求证：AB=AC

证明：作∠BAC的角平分线AD，交BC于D. ∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

在△ABD与△ACD中，

12BC

ADAD∴△ABD≌△ACD（AAS）

∴AB=AC

【归纳】等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (简称“等角对等边”) 应用格式：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角对等边).

【练习】（1）已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形. 证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA

∴△ABD≌△DCA (SSS)

∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）

∴AE=DE(等角对等边）

∴

△AED是等腰三角形. （2）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形. 证明：

∵AB=AC

∴

∠B=∠C

又∵

DE∥BC

∴

∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴

∠ADE=∠AED

∴△ADE为等腰三角形. 探究二：反证法

想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗？即在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC？

小明是这样想的：如图，在△ABC中,已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB=AC,

那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,

但已知条件是

∠B≠∠C.“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此

2

AB≠AC. 你能理解他的推理过程吗? 【归纳】在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．

用反证法证题的一般步骤：

1. 假设: 先假设命题的结论不成立；

2. 归谬: 从这个假设出发，应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；

3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 【练习】

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：△ABC．

求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．

【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．

证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则

∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．

这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．

所以一个三角形中不能有两个角是直角．

3.习题巩固

（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°

∴∠B＋∠BAC＝90°

∵CD是AB边上的高

∴∠ACD＋∠BAC＝90°

∴∠B＝∠ACD ∵AE是∠BAC的角平分线

∴∠BAE＝∠EAC ∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE

∴CE＝CF

∴△CEF是等腰三角形．

【方法总结】“等角对等边”等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. ①求证：△DEF是等腰三角形；

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②当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

【分析】①根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；

②根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF. 解：①证明：∵AB＝AC

∴∠B＝∠C

在△BDE和△CEF中

BD＝CE∠B＝∠C

BE＝CF∴△BDE≌△CEF(SAS) ∴DE＝EF ∴△DEF是等腰三角形

②解：∵△BDE≌△CEF ∴∠BDE＝∠CEF ∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE ∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF ∴∠B＝∠DEF ∵∠A＝50°，AB＝AC 1∴∠B＝×(180°－50°)＝65°

2∴∠DEF＝65°. 【方法总结】等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

（3）求证：△ABC中不能有两个钝角．

【分析】用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．

证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，

所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．

【方法总结】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

4.课堂小结

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5.布置作业

课本

P9~P10 习题1.3 四、板书设计

课题：等腰三角形的判定与反证法

1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．

例题

2．反证法

(1)假设结论不成立；

(2)从假设出发推出矛盾；

(3)假设不成立，则结论成立．

例题

练习

五、教学反思

解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.

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