平行四边形的判定的综合练习全国优秀课堂实录

特殊平行四边形

1 菱形的性质与判定（1）

【教学目标】

1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形的关系。

2.经历菱形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。

3.能运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。

【教学重难点】

重点：掌握菱形的性质。

难点：运用菱形的性质解决与菱形有关的问题。

【教学过程】

一、回顾复习

1.平行四边形的定义。

2.平行四边形的性质。

3.平行四边形的判定。

二、新课讲授

1.出示生活中菱形的例子，引出这类特殊的平行四边形——菱形，并得出菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2.组织学生活动，通过折菱形纸片，得出以下结论：

（1）菱形是轴对称图形；

（2）菱形的四条边相等；

（3）菱形的对角线互相垂直。

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3.证明这些结论。

已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O。

求证：（1）AB=BC=BC=AD；（2）AC⊥BD。

证明：

由此可以得到菱形的两条性质定理：

菱形的四条边相等。

菱形的对角线互相平分。

4.总结菱形所有的性质：

边：菱形的四条边相等；

角：菱形的对角相等，领角互补；

对角线：菱形的对角线互相垂直且平分。

对称性：菱形是轴对称图形（两条对称轴是对角线所在的直线）

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菱形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）

5.范例学习（P3）

例1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

6、随堂练习，巩固新知

1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. 2）菱形ABCD中∠BAD＝60°，则∠ABD＝_______. 3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（

）

4）菱形ABCD中，O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长。

5）“P4随堂练习”

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1 菱形的性质与判定（2）

【教学目标】

1.经历菱形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力。

2.掌握菱形的判定定理及其证明，并能利用定理解决有关问题。

【教学重难点】

重点：菱形的判断定理的掌握。

难点：菱形的判定定理的综合运用。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.菱形的定义：

2.菱形的性质：

二、新课讲授

1.思考（1）：

如果有一个平行四边形，它的的一组邻边相等，那么根据菱形的定义，我们可以判定这个就是菱形。除此之外，还能找出什么条件可以判断一个平行四边形是菱形呢？

猜想1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。

求证：四边形ABCD是菱形。

证明：

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2.得出结论：

判定定理1

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

3.思考（2）：

除了运用对角线，还有其他判定菱形的方法吗？

猜想2：四边相等的四边形是菱形。

已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BC=AD.

求证：四边形ABCD是菱形。

证明：

4.得出结论：

判定定理2

四边相等的四边形是菱形。

总结分析：三种判定方法是证明菱形的基础定理，条件对比（1）平行四边形+一组邻边相等；（2）平行四边形+对角线互相垂直；（3）四条边相等。

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三条定理条件的共同特点：与角无关，即用角无法判定菱形。

5、范例学习（P6）

例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=2,OB=1. 求证：□ABCD是菱形。

证明：

三、随堂练习

1.用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（

）

Ａ.等腰梯形

Ｂ.正方形

Ｃ.矩形

Ｄ.菱形

2.下列说法中正确的是（

）

Ａ、有两边相等的平行四边形是菱形

Ｂ、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形

Ｃ、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形

Ｄ、四个角相等的四边形是菱形

3.画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为4㎝和6㎝。

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1 菱形的性质与判定（3）

【教学目标】

1.巩固对菱形的性质定理与判定定理的理解；

2.在解决问题的过程中认识菱形性质定理与判定定理的区别，正确应用有关定理。

【教学重难点】

重点：菱形面积计算方法的推导。

难点：综合运用菱形的性质定理与判定定理解决菱形的相关题型。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.菱形的定义：

2.菱形的性质：

3.菱形的判定：

二、新课讲授

1.范例学习（P8）

例3 如图，四边形ABCD是边长为13㎝的菱形，其对角线BD长10㎝。求：

（1）对角线AC的长；（2）菱形ABCD的面积。

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2.菱形的面积公式

探究一：菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗？

公式为：S菱形底高

探究二：计算菱形的面积除了上面的方法外，能利用对角线来计算菱形的面积？

如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则

S菱形ABCDS△ABDS△BCD1ACBD

2菱形的面积=底×高=两条对角线长的乘积的一半

3.P8 做一做

如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？

三、随堂练习

1、判断下列说法是否正确？为什么？

（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；

（

）

（2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；

（

）

（3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；

（

）

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2、如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，则CE

CF，BE

BF。

3、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（

）

A、163

B、16

C、83

D、8

4、菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（

）

A．2

B.3

C．1

D．0.5

5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（

）

A．3：1

B．4：1

C．5：1

D．6：1

4．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（

）

A．15

B．153

C．7.5

D．153

25．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是

_________㎝²

．

6.如图，□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，BD=6。求证：四边形ABCD是菱形。

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2 矩形的性质与判定（1）

【教学目标】

1.了解矩形的概念，了解它与平行四边形的关系。

2.理解并掌握矩形的有关性质，能运用矩形的性质解决有关问题。

【教学重难点】

重点：掌握矩形的性质。

难点：运用矩形的性质解决与矩形有关的问题。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.平行四边形的性质：

2.菱形的定义与性质：

二、新课讲授

1.矩形的定义

出示生活中矩形的例子，引出这类特殊的平行四边形——矩形，并得出矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的定义有两个条件：一是平行四边形，二是有一个角是直角。矩形的定义既是矩形的性质定理也是矩形的判定定理。

2.矩形的性质

矩形的性质可以从哪些方面分析？（类比菱形的性质）

边：矩形的对边平行且相等；

角：矩形的四个角都是直角；

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对角线：矩形的对角线相等并且互相平分；

对称性：矩形是轴对称图形（对称轴是过对边中点的两条直线）；矩形也是中心对称图形（对称中心是两条对角线的交点）。

3.证明矩形的性质

已知：如右图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。

求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ABC=90°；（2）AC=BD。

证明：

4.证明直角三角形的性质（P9议一议）

矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？

定理

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。

求证：BO=AC。

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证明：

5.范例学习（P13）

例3 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，

∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。

三、随堂练习

1.在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，已知AB=6，BC=8，则AC=

，BD=

，矩形ABCD的周长是

，面积是

。

2.矩形的短边长为3㎝，两对角线所成的钝角是120°，则它的对角线长是

。

3.（P13 随堂练习）

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2 矩形的性质与判定（2）

【教学目标】

1.理解并掌握矩形的判定方法。

2.能应用矩形定义、性质、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

【教学重难点】

重点：矩形的判定定理

难点：矩形的判定与性质的综合应用。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.矩形的定义：

2.矩形的性质：

3.矩形性质与菱形性质的相同之处，不同之处：

二、新课讲授

1.矩形的判定定理

（1）判定四边形是矩形的方法是什么？

可以用定义，除了定义之外，还有其他的方法吗？

P14 做一做

猜想一：对角线相等的平行四边形是矩形。

已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，AC=BD。

求证：□ABCD是矩形。

证明：

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定理1

对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）我们知道，矩形的四个角都是直角。反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？

定理2 有三个角是直角的四边形是矩形。

总结矩形的判定方法：

有一个角是直角的平行四边形是矩形。

对角线相等的平行四边形是矩形。

有三个角是直角的四边形是矩形。

2.P15 议一议

1）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是平行四边形呢？

2）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是菱形呢？

3）如果仅仅有一根较长的绳子，你怎么判断一个四边形是矩形呢？

3.范例学习（P15）

例2 如图，在□ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积。

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三、随堂练习

1.下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

（1）有一个角是直角的四边形是矩形；

（×）

（2）有四个角是直角的四边形是矩形；

（√）

（3）四个角都相等的四边形是矩形；

（√）

（4）对角线相等的四边形是矩形；

（×）

（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；

（×）

2.如图，EF是矩形ABCD的对角线的交点O且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（

）

A 1113

B.

C.

D.

543103.已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC。

求证：四边形ABCD是矩形。

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2 矩形的性质与判定（3）

【教学目标】

1.巩固对矩形的性质定理与判定定理的理解；

2.在解决问题的过程中认识矩形性质定理与判定定理的区别，正确应用有关定理。

【教学重难点】

重点：矩形判定定理的应用。

难点：综合运用矩形的性质定理与判定定理解决矩形的相关题型。

【教学过程】

一、回顾与复习

1.矩形是特殊的平行四边形，它具有哪些性质？分别是从哪几个方面阐述的？

2.判定四边形是矩形的方法是什么？

可用定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

判定定理：（1）对角线相等的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

二、新课讲授

1.（P16 例3）主要是加深学生对矩形性质定理的应用的认识

例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE。求AE的长。

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2.（P17 例4）主要是加深学生对矩形判定定理的应用的认识

例4 已知：如图，在△ABC中，AB=AC ,AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E。

求证：四边形ADCE是矩形。

3.（P18想一想）

在例4中，连接DE，交AC于点F，如右图，

（1）试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论。

（2）线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论。

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三、随堂练习

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（

）

A.对角线相等

B.对角相等

C.对边相等

D.对角线互相平分

2.若矩形的对角线长为4㎝，一条边长为2㎝，则此矩形的面积为（

）

A.83㎝²

B.43㎝²

C.23㎝²

D.8㎝²

3.矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与

△BCO的周长差为4，则AB的长为

。

4.如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，求∠CBE的度数。

5.（P18知识技能第三题）

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3 正方形的性质与判定（1）

【教学目标】

1.理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系。

2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力。

【教学重难点】

重点：理解正方形的定义和性质。

难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题。

【教学过程】

一、情景引入

小时候都做过风车吧？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形．

在这过程中感知正方形与矩形的关系。

结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？

定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

其定义包括了两层意义：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）；⑵有一个角是直角的平行四边形

（矩形）

所以说正方形既是菱形又是矩形。所以也可这样定义正方形：

有一个角是直角的菱形是正方形。

有一组邻边相等的矩形是正方形。

二、新课讲授

1.正方形的性质

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正方形的性质1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形的性质2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。

2.P20 想一想

正方形有几条对称轴？

正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过每一组对边中点的直线。

正方形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

3.范例学习（P21例1）

例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF。BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由。

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4、P21议一议

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流

三、随堂练习

1.P21随堂练习1,2 2.已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE=BF。求证∠AFE=∠AEF。

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3 正方形的性质与判定（2）

【教学目标】

1.知道正方形的判定条件，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算。

2.探索并证明正方形的判定定理，进一步发展推理能力。

【教学重难点】

重点：掌握正方形的判定条件。

难点：合理地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算。

【教学过程】

一、回顾复习

1.平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系：

可以形象地知道正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形。

1、怎样判断一个四边形是矩形？

2、怎样判断一个四边形是菱形？

3、怎样判断一个四边形是平行四边形？

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

那么怎样判断一个四边形是矩形？

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二、讲授新课

1.正方形的判定条件

判定一个四边形是正方形的基本方法：

（1）直接用正方形的定义

平行四边形+一个直角+一组邻边相等。

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，即可。

（3）先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，即可。

正方形判定定理：

定理1 有一组邻边相等的矩形是正方形。

定理2 对角线互相垂直的矩形是正方形。

定理3 有一个角是直角的菱形是正方形。

定理4 对角线相等的菱形是正方形。

2、范例学习（P23 例2）

例2 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。

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3.P23做一做

任意一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形？

先猜一猜，再证明。

4、P23 议一议

中点四边形的问题

新中点四边形的形状与原四边形的的两条对角线有关。

以菱形各边的中点为顶点可以组成矩形；

以矩形各边的中点为顶点可以组成菱形；

以平行四边形各边的中点为顶点可以组成平行四边形；

当原四边形的两条对角线互相垂直时，新四边形是矩形；

当原四边形的两条对角线相等时，新四边形是菱形；

当原四边形的两条对角线相等且互相垂直时，新四边形是正方形。

三、随堂练习

1.判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。

（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

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（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

2.如图，分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO，使AO=CO，BO=DO。求证：四边形ABCD是正方形。

3.矩形ABCD中，四个内角的平分线组成四边形EMFN，判断四边形EMFN的形状，并说明理由。

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