2.2.2 椭圆的几何性质教学设计(第二课时)

课题：椭圆的几何性质

授课教师：江苏省木渎高级中学

李刚

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书（选修2—1）

一、教学目标

1.利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养直观感知、逻辑推理的能力. 2.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，能准确画椭圆图形. 3.通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质. 二、教学重点、难点

教学重点：（1）掌握椭圆的简单的几何性质；

（2）感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法. 教学难点：（1）运用方程研究曲线几何性质的思想方法；

（2）离心率对椭圆扁平程度的影响. 三、教学方法与教学手段：

运用引导发现和讲练结合的教学方法，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件、椭圆规等工具让学生在教师的引导下，学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能.

四、教学过程

（一）问题情境

通过教材中的问题情境，提出解析几何的两大任务：

1.如何求椭圆的方程？

2.如何利用椭圆方程研究椭圆的性质？

师：前面我们推导了椭圆的标准方程，接下来我们要研究什么？（椭圆的几何性质）如何研究？（利用椭圆的方程）

板书课题：椭圆的几何性质. 1

【设计意图】通过回顾，让学生明确解析几何的两大任务，从数学内部提出问题，激发学生探究椭圆的几何性质的兴趣. 回顾课本第31页例2：将圆x2y24上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.

[师生活动]引导学生复习回顾课本第31页例2，认识到椭圆可以视为将圆上的点向同一直径试行伸缩变换而成. 【设计意图】椭圆可以用圆通过伸缩变换得到，它揭示了椭圆和圆之间的内在关系，这种关系有利于进行类比探索，为接下来从圆的有关性质发现椭圆的相关性质，让学生在已有的知识体系中建构新知.

问题1.

椭圆有哪些几何性质？

x2[师生活动] 学生通过观察椭圆y21的图形，类比圆的基本性质能回答圆4有范围，有对称轴，有对称中心等，教师提取相关信息. 引导学生制定研究方案，教师板书方案．

【设计意图】通过旧知识的复习和思想方法的回忆，让学生在已有的知识体系中建构新知. 问题2.你能用椭圆的方程研究这些性质吗？

[师生活动] 师：接下来，我们的主要任务是通过椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．

【设计意图】第一，人们总是借助具体的东西来理解抽象的东西，因此结合具体的实例说，增加供归纳的样本，具体的清楚了，抽象的就不难了；第二，引导学生说明为什么？从形上说椭圆的相关特点，从数上讲是通过研究椭圆方程来研究椭圆几何性质．

（三）建构数学

x2y2问题3.从椭圆方程221(ab0)出发，你能分别得出x,y的取值范围吗？

ab[师生活动] 学生讨论后交流，提供相关解法，教师做归纳点拨. 板书：范围：-a≤x≤a，-b≤y≤b. 【设计意图】学生在之前画图的过程中发现图形上点的横坐标x和纵坐标y的2

范围，教师及时回到方程，利用方程的特征导出这个结论，符合解析几何的研究方法. 问题4：从椭圆方程出发，你能证明椭圆的对P2(-x,y)yB2P(x,y)称性吗？

[师生活动] 让学生类比函数奇偶性的定义及图象对称性进行充分探讨，然后交流．教师指出：A1F1P3(-x,-y)OF2A2P1(x,-y)B1x我们抓点的对称性就抓住了图形的对称性，因为图形对称性的本质是构成图形的点的对称性. 板书：对称性：椭圆关于坐标轴对称（轴对称），关于原点对称（中心对称）. 【设计意图】让学生通过类比，体会利用方程研究图形的性质是解析几何问题的重要思想，培养学生的分析、概括与数学表达能力. 问题5：观察椭圆形状，你能找到椭圆上有哪些特殊点？

[师生活动]通过对之前圆的图象类比，让学生归纳总结椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点. B1A1F1OyB2F2A2x板书：顶点：椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点. 长轴，短轴：线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a,2b，a,b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 【设计意图】通过类比，得到相关概念.介绍椭圆的顶点、长轴、短轴等概念，并揭示椭圆方程中a,b的几何意义. 思考1：已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆焦点的位置？

[师生活动]引导学生从a=bc的关系入手，学生探究后交流，得到以B1或B2为圆心，a为半径作圆弧，交长轴于两点，这两点就是焦点. 【设计意图】让学生从发现—猜想—证明三个层次来理解椭圆中a,b,c三个量的几222A1F1bOcyB2aF2A2xB13

何意义以及a2c2b2的平方关系. 一方面对相关概念进行深入理解，另一方面加深对利用代数的方法来处理几何问题的思想的理解. 思考2：对于三角形OF2B2，a，b，c的变化是否会影响椭圆图形改变？

【设计意图】以画图为情境，通过观察变长轴长和变焦距画出的不同的椭圆，使学生对椭圆的扁平变化有初步的感性认识. 数学活动：

探究1.将细绳的两端固定在焦点处，用铅笔笔尖拉紧细绳，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长、缩短），观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；

探究2.细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律. 问题6.

圆的形状都是相同的，而椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么样的量可以刻画椭圆的“扁”的程度呢？

[师生活动]教师引出话题：用什么样的量可以刻画椭圆的“扁”的程度呢？激发学生思考探究，提供相关想法，教师做归纳点拨. 【设计意图】通过学生的实践探究，直观感知椭圆的扁平程度与a,c有关，再c介绍相关的数学史，让学生知道为什么用表示离心率.

acc板书：离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即e. aa范围：ec(0,1). a数学文化介绍：介绍离心率产生的历史背景. 【设计意图】探究椭圆离心率与椭圆扁平程度的关系，变抽象为形象，通过研究特征数a,b,c的关系，以学生的自主发现代替教师的直接讲解，体现以学生为主体的教学原则. 小结：总结焦点在x轴上椭圆的几何性质. 4

[师生活动]引导学生做椭圆的简单几何性质小结.

【设计意图】师生共同归纳椭圆焦点在x轴和y轴上的四个性质：范围、对称性、顶点、离心率.一是对所学知识的总结，二是为下面的练习打好基础，三是进一步调动学生求知的激情，营造积极热烈的学习气氛. （四）数学运用

x2y2例1.求椭圆1的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标，并用描点法画出259这个椭圆.（在讲解完范围、对称性、顶点后给出）

[师生活动] 学生解答，教师巡视答题情况，并请学生交流解法. 【设计意图】巩固椭圆的简单几何性质，并未接下来画出椭圆图形进行离心率的探究做好铺垫.

例2.我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道是以地球为中心（简称“地心”）F2为焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，AB是椭圆的长轴，地球半径约为6371km，求卫星运行的F2BA轨道方程. [师生活动]板书解题过程. 【设计意图】让学生进一步感受椭圆的实际背景，了解近地点、远地点等概念；同时培养学生的运算能力，运用整体处理算式的思想. （六）课堂小结

通过本堂课的学习，你有哪些收获？

（1）本节课学习了椭圆的几何性质：

①范围；②对称性；③顶点；④离心率；

（2）

学习了通过曲线方程研究图形几何性质的方法：以数解形

，

“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”

【设计意图】通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括，

培养学生反思的习惯. （七）课后作业

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1.教材第36页练习1—6 2. 写出焦点在y轴上的椭圆的几何性质. 3.为什么把线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴呢？有没有过椭圆中心的弦比线段A1A2,B1B2更长或更短？

4.能否用

表示离心率？如果可以，写出其表达式.

设计说明

以前学***面几何及函数都是先画出图形，然后根据图形研究它们的几何性质.借鉴这种学习方法来研究椭圆的性质有益于教学.为了分散难点，需要紧紧依靠图形，充分利用数形结合的思想方法进行教学.让学生先画图，在画图时发现要画好图紧紧依靠描点是不够的，自然过渡到如何才能更准确地画出椭圆这个问题上来.先研究性质，然后根据性质画出椭圆.

可是，如何去研究椭圆的性质呢？我们可以先借助椭圆的模型，先观察它的直观性质，然后从方程出发，以函数的观点去研究性质.这样通过模型—方程—性质，彻底弄清椭圆的基本性质. 1、对教材的研究认识：

利用已知条件求曲线的方程，利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务，利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次，传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线，让学生观察、猜想椭圆的几何性质，然后再利用椭圆的标准方程进行证明，体现从感性到理性符合学生的认知规律等，也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路，但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质.因此，在教学一开始的问题设置，与利用圆的方程研究圆的性质类比能够使得学生掌握利用椭圆方程研究椭圆几何性质的方法，体现了利用方程研究曲线的意识，在四个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质，真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力.说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的，同时体现了教材的本质. 2、

课堂教学模式的设置：

自主探究是传统教学模式的一种补充，自主探究能够使学生成为研究问题的主6

人，能够培养学生的思维能力.数学是思维的科学，思维能力是数学的核心，教学过程的设计要能够体现教学本质；能够突出所学数学内容的本质；组织教学的过程要能触及学生的灵魂深处.因此，课堂教学中提倡问题教学，抓住学生的认识现实，恰当地创设问题情境，使学习者能够在课堂上进行积极有效的学习. 3、

课堂练习题的说明：

如何利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质是本节课的主题，是进一步学习双曲线和抛物线的基础.为了不冲淡主题，课堂教学过程中重在培养学生的研究方法，提高学生的思维能力.因此，在椭圆几何性质的其它课时中将适当增加相应的练习，强化学生对知识的掌握和应用.

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