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解三角形

一、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例1 (2005年北京春季高考题)在ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么ABC一定是（

）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．正三角形

解法1：由2sinAcosBsinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，

即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．

sinCca2c2b2解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．

2sinA2a2acca2c2b222∴

＝，即a＝b，得a＝b，故选(B)．

2a2ac例题2

在△ABC中，cosAbcos，判断△ABC的形状。

解：在△ABC中，∵acosAbcosB，由正弦定理得2RsinAcosA2RsinBcosB，得∴sin2Asin2B。∴2A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。

故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

a2tanA例题3

在△ABC中，若2，试判断△ABC的形状。

tanBb解：由正弦定理，得

sin2AtanAsin2AsinAcosB·，∵sinA0，sinB0

即22sinBsinBtanBsinBcosA故△ABC为等腰三角形或直角三角形。

∴sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B。

例4在三角形ABC中，已知(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，试判断该三角形的形状．

解法一：由已知得：a[sin(AB)sin(AB)]b[sin(AB)sin(AB)]，

化简得2acosAsinB2bcosBsinA，

由正弦定理得：sinAcosAsinBsinBcosBsinA，

2222222222,，)sinAsinB0，即sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，又A,B(0sin2Asin2B．

2A2B或2A2B，又2A,2B(0,2)，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

解法二：同解法一得：2acosAsinB2bcosBsinA，

222b2c2a22acbba由正余弦定理得：ab，

2bc2ac2222整理得：(a2b2)(c2a2b2)0，即ab或cab，

22即该三角形为等腰三角形或直角三角形．

练习：

1、在ABC中，若2abc，sinAsinBsinC，则ABC的形状是____等边___三角形． 2、在△ABC中已知acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.（△ABC为等腰三角形）

sinB＋sinC3、在△ABC中，若sinA＝

，试判断△ABC的形状.（△ABC为直角三角形.）

cosB＋cosC4、在ABC中，已知tan2ABsinC，给出以下四个论断：

2

②

1sinAsinB①

tanA1

；

tanB2；

22③

sinAcosB1；

222

④

cosAcosBsinC．

其中正确的序号有______②④_____．

二：求值问题

例1在ABC中，已知AC2，BC3，cosA（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin2B4．

5的值．

62342解：（Ⅰ）在ABC中，sinA1cosA1，由正弦定理，

55BCACAC232sinA．

．所以sinBsinAsinBBC3554（Ⅱ）因为cosA，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是

5212121722cosB1sinB1)1，cos2B2cosB12(，

5525522221421sin2B2sinBcosB2．

5525

例2已知△ABC的周长为21，且sinAsinB2sinC．（I）求边AB的长；（II）若△ABC的面积为1sinC，求角C的度数．

6解：（I）由题意及正弦定理，得ABBCAC21，BCAC2AB，两式相减，得AB1．

（II）由△ABC的面积111BCACsinCsinC，得BCAC，

263AC2BC2AB2(ACBC)22ACBCAB21，

由余弦定理，得cosC

2ACBC2ACBC2所以C60．

，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a2,例3在△ABC中，a，bCπ，4cosB25，求△ABC的面积S．

253解：

由题意，得cosB，B为锐角，

5sinB43π72，

sinAsin(πBC)sin，

B5410

由正弦定理得

c10111048，



SacsinB2．

227577例4 (2005年全国高考上海卷) 在ABC中，若A120，AB5，BC7，

则ABC的面积S＝_________

分析：本题只需由余弦定理，求出边AC，再运用面积公式S＝1AB•ACsinA即可解决．

2AB2AC2BC225AC2491由余弦定理，得cosA＝，解得AC＝3．

解：2ABAC10AC2∴

S＝1153AB•ACsinA＝．

24例题5

在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC3，求abc的值。

sinAsinBsinC正解：由已知可得c4，a13。由正弦定理，得

2Rabc239a132392R。∴。

sinAsinBsinC3sinAsin60°3

例题6在△ABC中，tanA（Ⅰ）求角C的大小；

13，tanB．

45（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

13解：（Ⅰ）Cπ(AB)，tanCtan(AB)451．

131453又0Cπ，Cπ．

43（Ⅱ）C，AB边最大，即AB17．

4又tanAtanB，A，B0，，角A最小，BC边为最小边．

BC得：siAnsinA1，AB17tanAπ由．由cosA4且A0，，得sinAsinC217sin2Acos2A1，sinABCAB2．所以，最小边BC2．

sinC例题7ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA2cos值，并求出这个最大值。

πB+CAB+CA.解: 由A+B+C=π, 得

=

－

, 所以有cos

=sin

. 22222B+CAAAA13cosA+2cos

=cosA+2sin

=1－2sin2

+ 2sin

=－2(sin

－

)2+

2222222πA1B+C3当sin

=

, 即A=

时, cosA+2cos取得最大值为

22322BC

取得最大2，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA例题8在锐角△ABC中，角A（1）求tan222，

3BCAsin2的值；

22（2）若a2，S△ABC2，求b的值．

解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝，sinA122，所以cosA＝，则

33

B＋CB＋CA2＋sin2Atan2＋sin2＝22cos2B＋C2

21－cos（B＋C）11＋cosA17＝＋（1－cosA）＝＋＝1＋cos（B＋C）21－cosA33sin2（2）因为SABC＝2，又S1122，则bc＝3。

＝bcsinA＝bcABC223将a＝2，cosA＝解得b＝3

【练习】

13a2＝b2＋c2－2bccosA中得b4－6b2＋9＝0

，c＝代入余弦定理：3b4

6

.

1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝



32．在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是______________.

10

13．在△ABC中，若tanA，C150，BC1，则AB

．

23tanAa22，则△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．

4．在△ABC中，若tanBb33

5．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为

．

2

选择题：

1、若ABC的内角A满足sin2A2，则sinAcosA

3A.551515 B． C． D．

3333解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A这锐角，所以sinA＋cosA0，

5，故选A 32、已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（

）

又(sinAcosA)1sin2A2Ａ．3

2Ｂ．3

Ｃ．15

8

Ｄ．15

715A2A151515，选D 2解：依题意，结合图形可得tan，故tanAA72151521tan21()2152tan

3、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB

A．1322 B． C． D．

4443解：ABC中，a、b、c成等比数列，且c2a，则b=2a，

a2c2b2a24a22a23=cosB，选B. 22ac4a44、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=3,b=1，则c= 3(A)

1

（B）2

（C）3—1

（D）3

1，又ab，所以AB，故B＝30，所以C＝90，故c＝2，选B 25、在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则B的大小是___________. 解：

sinA:sinB:sinC5:7:8abc＝578设a＝5k，b＝7k，c＝8k，

解：由正弦定理得sinB＝由余弦定理可解得B的大小为. 36、在ABC中，已知a333，b＝4，A＝30°，则sinB＝

. 423。

2解：由正弦定理易得结论sinB＝7、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝

【正确解答】由正弦定理得，ACBC解得AC46

sin45sin60【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理

8、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为

．

解析: 由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得BAD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD3。

9、在△ABC中，已知BC8,则cos2C

. 解：由三角形面积公式，得3

AC5，三角形面积为12，

13BCCAsinC20sinC12，即sinC．

25772于是cos2C12sinC从而应填．

2525