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《三角形的内角和》教案

教学目标

1．探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性

2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．

教学重难点

1.重点：用多种方法证明三角形内角和定理．

2.难点：三角形内角和定理的应用是难点．

三角形内角和定理是本章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础．它从“角”的角度刻画了三角形的特征．三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时也说明了证明的必要性．

教学过程

一、

导入新课

情境引入：一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧．

我们在小学就知道三角形内角和等于180°，与三角形的形状大小无关．

验证活动：

1.通过几何画板演示，使学生直观感受三角形的内角和不会随形状大小的改变而改变；

2.小学阶段使用度量、剪拼、折叠等方法验证了上诉结论．(多媒体展示验证过程) 但上诉验证方法有具有局限性：度量存在误差；形状大小各不相同的三角形有无数多个，不可能通过几何画板、剪拼、折叠的方式一一验证．而数学必须具有严谨性，所以这个结论还需要推理的方法去证明．

二、三角形内角和的证明

让我们回到剪拼的方法，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800

图1 想一想，还可以怎样拼？

①

剪下∠A，按图(2)拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

②

把B和C剪下按图(3)拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

观察在剪拼的过程中，形成了一条直线m，请同学们思考各图中直线m有什么特点？（只需要学生直观感受出即可）

--------------------------------图1中：m//AB

图2中：m//AB

图3中：m//BC 由此，你能想到证明三角形内角和等于180°的方法吗？

法一：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．

证明：（板书过程）

过点A作直线l∥BC（此处说明辅助线用虚线）

∵l∥BC，

∴∠2=∠4，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）

∵∠1，∠4，∠5组成平角

∴∠1+∠2+∠3=180°

以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°．

这就是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．

符号语言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°(板书)

思考：还有其他证明方法吗？

法二：（多媒体展示）

证明：

过点C作直线l∥AB ∵l∥AB，

∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）

∠2=∠5（两直线平行，同位角相等）

∵∠3，∠4，∠5组成平角

∴∠1+∠2+∠3=180°

命题得证

法三：（多媒体展示）

证明：

过点A作直线AE∥BC ∵AE∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）

∠C+∠EAC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

即∠C+ ∠1+∠BAC= 180°

∴∠C+ ∠B+∠BAC= 180°

命题得证

思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？平行线的作用是什么？

答：借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角或者转化到平行线间的同

A旁内角中。（转化思想）

是否还有其他作平行线的方法呢？多媒体动态展示

三角形内角和定理有什么作用呢？

二、

三角形内角和定理的应用

（一）知识定势、方程思想

（1）若在△ABC中，∠A=65 °

∠B=45 °

，∠C=x，则x=

. （2）若在△ABC中，∠A=∠B=∠C=x，则x=

. （3）若在△ABC中，A

的度数是∠B

的度数的3倍，∠C

比∠B

大15°，

则∠A=

，∠B=

，∠C =

. （4）在△ABC中，∠A＝BC11∠B＝∠C，则∠A=

，∠B=

，∠C =

. 23几何问题借助方程来解.，重要的数学思想方程思想．

（二）基本识图、构建基本模型

（1）求出下图中的x值；

（2）你能找到∠A、∠B、∠C、∠D之间的关系吗？

x°20°25°45°（三）典型例题

例1. 如图，在△ABC中，

∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，

求∠ADB的度数.

解：∵∠BAC=40 °

AD是△ABC的角平分线

∴∠BAD=

1∠BAC=20 °

2

在△ABD中，

∠ADB+∠B+∠BAD=180°

∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20°

=85°.

练习：已知∠1=65 °，∠2=45 °，∠3=30 °，求∠4的度数.

例2．综合运用

已知：

∠1= ∠2，∠3= ∠4，∠5= ∠6.求证：ED//FB

课堂小结：

1.本节课探究了三角形内角和定理的证明方法，得出了

三角形内角和定理；

2.我们可以运用内角和定理建立

方程

来解决问题；

3.一般地，我们都需要将条件和结论转化集中到一个三角形中

；

4.要善于从复杂图形中发现有关联的三角形.