利用完全平方差公式进行因式分解优秀教案设计

第四章

因式分解

4.1因式分解

主备人;刘红琴

审阅：八年级数学组

时间

教学目标

1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 3、培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度

重点：因式分解的概念

难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式

学生问题：

学科问题：了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。

教师问题：

教学过程

一.情景导入，初步认知

下题简便运算怎样进行？

问题1：736×95+736×5

问题2：-2.67×

132+25×2.67+7×2.67 二.思考探究，获取新知

问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的

1

想法与同学交流。

993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 【归纳结论】

以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) 【归纳结论】

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解

1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；

（3）a2－4=（a+2）(a－2）；

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2. 2.试将下列各式化成几个整式的积的形式

（1）3x2-2x=______-

(2)m2-4n2 =____ 3.分解因式. 4m2-4m=______

2a3+2a=______

y2+4y+4=______ 4.如果a+b=10,ab=21,则a2b+ab2的值为. 5.如果a-3b=-3,那么5-a+3b的值是（

）

A.0

B.2

C.5

D.8

2

四.师生互动，课堂小结

1.你能说说什么是分解因式吗？

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。

2.应该怎样认识“因式分解”？

（分解因式与整式乘法是互逆过程.）

3.分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止. 五、课后作业

布置作业:教材“习题4.1”中第1、2 题. 教后记：

3

4.2 提公因式法（一）

主备人;刘红琴

审阅：八年级数学组

时间

教学目标

1、让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. 2、通过找公因式，培养学生的观察能力. 3、在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. 教学重点

学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。

教学难点

让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

学生问题：

学科问题：会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。

教师问题：

教学过程

一、创设问题情境,引入新课

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积. 解法一：S=×

+ ×

+ ×

=++=2 解法二：S=×

+ ×

+ ×

= （

++）=×4=2 从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. 二、新课讲解

1.公因式与提公因式法分解因式的概念. ma+mb+mc=m（a+b+c）

从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？

由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

4

（2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc

（4）－24x3－12x2+28x. 解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc

=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c

=ab（8a2b－12b2c+c）

（4）－24x3－12x2+28x

=－4x（6x2+3x－7）

三、课堂练习

（一）随堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式. （1）ma+mb

（m）

（2）4kx－8ky

（4k）

（3）5y3+20y2

（5y2）

（4）a2b－2ab2+ab

（ab）

2.把下列各式分解因式

（1）8x－72=8（x－9）

（2）a2b－5ab=ab（a－5）

（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）

（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）

（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）

四、课时小结

1.提公因式法分解因式的一般形式，如：

ma+mb+mc=m（a+b+c）. 这里的字母a、b、c、m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式. 2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式. 3.找公因式的一般步骤

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 4.初学提公因式法分解因式，最好先在各项中将公因式分解出来，如果这项就是公因式，也要将它写成乘1的形式，这样可以防范错误，即漏项的错误发生. 5.公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题. 习题4.2 五、活动与探究

利用分解因式计算：

（1）32004－32003; （2）（－2）101+（－2）100.

5

解：（1）32004－32003

=32003×（3－1）

=32003×2 =2×32003

（2）（－2）101+（－2）100

=（－2）100×（－2+1）

=（－2）100×（－1）

=－（－2）100

=－2100

六、课后作业

教学反思：

6

4.2提公因式法（二）

主备人刘红琴 审阅：八年级数学组 时间

教学目标

1、进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. 2、进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. 3、通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.教学难点: 探索多项式因式分解方法的过程。

教学重点: 用提公因式法把多项式分解因式。

学生问题：

学科问题：1。探索多项式因式分解方法的过程

2.

用提公因式法把多项式分解因式

教师问题：

教学过程

Ⅰ.创设问题情境,引入新课

上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式教学重点:用提公因式法把多项式分解因式

分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜. Ⅱ.新课讲解

一、例题讲解

［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？

［生］不是，是两个多项式的乘积. ［例3］把下列各式分解因式: （1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2. 分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此. 解：（1）a（x－y）+b（y－x）

=a（x－y）－b（x－y）

=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2

=6（m－n）3－12［－（m－n）］2

7

=6（m－n）3－12（m－n）2

=6（m－n）2（m－n－2）. 二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）; （3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2; （5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）. 解：（1）2－a=－（a－2）; （2）y－x=－（x－y）; （3）b+a=+（a+b）; （4）（b－a）2=+（a－b）2; （5）－m－n=－（m+n）; （6）－s2+t2=－（s2－t2）. Ⅲ.课堂练习

把下列各式分解因式：

解：（1）x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）; （2）3a（x－y）－（x－y）

=（x－y）（3a－1）; （3）6（p+q）2－12（q+p）

=6（p+q）2－12（p+q）

=6（p+q）（p+q－2）; （4）a（m－2）+b（2－m）

=a（m－2）－b（m－2）

=（m－2）（a－b）; （5）2（y－x）2+3（x－y）

=2［－（x－y）］2+3（x－y）

=2（x－y）2+3（x－y）

=（x－y）（2x－2y+3）; （6）mn（m－n）－m（n－m）2

=mn（m－n）－m（m－n）2

=m（m－n）［n－（m－n）］

=m（m－n）（2n－m）. 补充练习

把下列各式分解因式

解：1、5（x－y）3+10（y－x）2

=5（x－y）3+10（x－y）2

=5（x－y）2［（x－y）+2］

=5（x－y）2（x－y+2）; 2、m（a－b）－n（b－a）

=m（a－b）+n（a－b）

8

=（a－b）（m+n）; 3、m（m－n）+n（n－m）

=m（m－n）－n（m－n）

=（m－n）（m－n）=（m－n）2; 4、m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）

=（m－n）（p－q）（m +n）; Ⅳ.课时小结

本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式. Ⅴ.课后作业

习题4.3 教后记：

9

第1课时

用平方差公式进行因式分解

主备人;刘红琴

审阅：八年级数学组

时间

教学目标：

1、会用平方差公式进行因式分解. 2、经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性. 3、在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

教学重点: 会用平方差公式进行因式分解；

教学难点: 利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维

学生问题:

学科问题：1.利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维

2.会用平方差公式进行因式分解；

教师问题：

教学过程

一.情景导入，初步认知

填空：

（1）（x+5）（x-5）=________；

（2）（3x+y）（3x-y）=________；

（3）（3m+2n）（3m-2n）=________________ 它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

x2－25=________; 9x2－y2=_______; 9m2－4n2=______. 【教学说明】

10

对平方差公式进行复习，利于本节课的教学. 二.思考探究，获取新知

1.观察下列过程，谈谈你的感受. 将多项式a2-b2进行因式分解: ∵（a+b）(a-b)=a2-b2

整式乘法

∴a2-b2=（a+b）(a-b)

因式分解

2.找特征

a2-b2=(a+b)(a-b) (1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（

）2－（

）2的形式. (2)公式右边:（是分解因式的结果）分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式. 三.运用新知，深化理解

1.下列多项式能转化成（

）2－（

）2的形式吗？如果能，请将其转化成（

）2－（

）2的形式. （1）m2－81=m2－92; （2）1－16b2=12－(4b)2; （3）4m2+9; （4）a2x2－25y2=(ax)2－(5y)2; （5）－x2－25y2. 2.下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（

）

A．a2＋b2

B．－a2＋b2

C．－a2－b2

D．－(－a2)＋b2

3.将下列各式分解因式

（1）a2b2-a2c2=a2（b2-c2）=a2（b+c）（b-c）；

（2）-x5y3+x3y5=x3y3（-x2+y2）=x3y3（x+y）（-x+y）

（3）（a+b）2-9（a-b）2=［（a+b）+3（a-b）］［（a+b）-3（a-b）］=（a+b+3a-3b）（a+b-3a+3b）=（4a-2b）（4b-2a）=4（2a-b）（2b-a）；

（4）

p4－1=（p2+1）（p2－1）=(p2+1)(p-1)(p+1). 四.师生互动,课堂小结

11

1. 本节课我们主要学***方差公式进行因式分解，利用平方差公式时,先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：

1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）；

2)每项可写成平方的形式；

3)两项的符号相反. 2.在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式.

3.分解因式，应进行到每一个多项式因式不能再分解为止. 课后作业

布置作业:教材“习题4.4”中第1、2 题. 教后记：

12

第2课时

用完全平方公式进行因式分解

主备人;刘红琴

审阅：八年级数学组

时间

教学目标

1、使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，然后再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式. 2、经历整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力. 3、培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值. 教学重点：完全平方公式进行分解因式. 教学难点：发展学生的逆向思维和推理能力. 学生问题：

学科问题：1.完全平方公式进行分解因式. 2.发展学生的逆向思维和推理能力

教师问题：

教学过程

一.情景导入，初步认知

完全平方公式

现在我们把完全平方公式反过来，可得：

两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方.

13

【教学说明】

对完全平方公式进行复习，为本节课的教学作准备. 二.思考探究，获取新知

形如【归纳结论】

的多项式称为完全平方式. 我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫公式法. 三.运用新知，深化理解

1.见教材P101例3、例4 2.判别下列各式是不是完全平方式．

(1)x2+y2;

(2)x2+2xy+y2;

(3)x2-2xy+y2;

(4)x2+2xy-y2

(5)-x2+2xy-y2. 答案：（2）（3）（5）是完全平方式

3.当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．

答案: 8或－2 4.分解因式：-8ax2+16axy-8ay2 解：原式=-8a（x2-2xy+y2）=-8a（x-y）2

5.分解因式：（a2+1）2-4a2

解：原式=（a2+1+2a）（a2+1-2a）=（a+1）2（a-1）2

6.分解因式:（a2-4a+4）-c2

解：原式=（a-2）2-c2=（a-2+c）（a-2-c）

7.（x+3y）2+（2x+6y）（3y-4x）+（4x-3y）2

解：原式=（x+3y）2-2（x+3y）（4x-3y）+（4x-3y）2=（x+3y-4x+3y）2 =(-3x+6y)2=9(x-2y)2

8.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2 +8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试?”

解：

4x2 +8x+11=（2x+2）2+5 ∵（2x+2）2+5≥0∴无论x取何值,这个代数式的值都是正值

【教学说明】

14

在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：

（1）有公因式，先提公因式；

（2）再用公式法进行因式分解. 四.师生互动,课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？

掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？

课后作业

布置作业:教材“习题4.5”中第1、2 题. 教学反思

15

回顾与思考

主备人;刘红琴

审阅：八年级数学组

时间

教学目标是：

1．知识与技能：

（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；

（2）提高学生因式分解的基本运算技能；

（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．

2．过程与方法：

（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；

（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．

3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．

第一环节

知识回顾

活动内容：1、举例说明什么是分解因式。

2、分解因式与整式乘法有什么关系？

3、分解因式常用的方法有哪些？

4、试着画出本章的知识结构图。

注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互

16

逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．

第二环节

总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）

活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解

例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（

）。

A. y23y4y(y3)4B. 14x4x2(12x)222C. xy(xy)(xy)1D. x1x(1)x注意事项：引导学生说出相应的理由．

活动内容：

知识点二：利用提公因式法分解因式

例2.把下列各式分解因式

2227mn9mn18mn⑴

⑵

4b(1b)32(b1)2知识点三：利用公式法分解因式

例3.把下列各式分解因式

(mn)2(mn)292x3x⑵

42⑶

(xy)10(xy)25⑴

⑷

(2ab)28ab注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。

第三环节

小试牛刀

活动内容：练一练：把下列各式分解因式

（1）（a2+4）2–16a2

2244（2）

2xyxy注意事项：区分两个公式法分解因式。

17

第四环节

总结归纳

活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式

例4.把下列各式分解因式

3⑴

x4x2⑵

(ab)4(ab1)2222⑶

x(y1)2x(y1)(y1)222⑷

x9y4z4xz活动目的：

考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。

活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值

例5.利用分解因式计算：

1002⑴

(9921981)2⑵

1999219982002⑶（–2）101+（–2）100 例6．已知

x

2



3

2



0

，求

2

x

3



4

x

的值。

x

6

x

2

11例7.已知x+y=1，求x2xyy2的值．

22例8.计算下列各式：

(1)11________;22

11(2)(12)(12)_________;23

111(3)(1)(1)(1)__________.

223242你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方1

11111法计算下式：(12)(12)(12)...(12)(12)...(12).234910n

第五环节

能力提升

活动内容：知识点六：分解因式的实际应用

例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．

（1）用代数式表示剩余部分的面积；

（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．

18

第六环节

活学活用

活动内容：练一练

1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。

2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？

3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？

第七环节：

永攀高峰

712

5活动内容：例10.利用分解因式说明：

25

能被120整除。

48练一练：

2



1

可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。

四、教学设计反思

19